自反性

自反关系是在逻辑学和数学中一种特殊的二元关系，这样的二元关系被称为自反的，也被称为具有自反性。自反关系的一个例子是关于实数集合的“等于”关系，因为每个实数都等于它自己。对称性、传递性以及自反性是定义等价关系的三个属性。对于集合X上的二元关系R，若满足： ∀ a ∈ X ( a R a ) {displaystyle forall ain X(aRa)} ，则称二元关系R是自反的，或称R具有自反性，或称R为自反关系。∀ a ∈ X {displaystyle forall ain X} ，a = a，在一些系统中称为相等公理。一个非自反（irreflexive, anti-reflexive）的关系，是在一个集合中没有元素与自身相关的二元关系。例如实数上的“大于”关系（x> y）。请注意，没有自反的各种关系，并不全都是非自反的；可以定义一些元素与自己相关的关系，而另一些则不是（neither all nor none are）。例如，“x和y的乘积是偶数”的二元关系在偶数集上是自反的，在奇数集上是非自反的，在自然数集上既不是自反，也不是非自反。关于集合S上的一个关系，如果与某个元素相关的每个元素也与它自己有关，形式上就称为准自反：∀x，y∈S：x〜y⇒（x〜x∧y〜y）。一个例子是关于实数序列集合的“具有相同极限”的关系：并不是每个序列都有一个极限，因此这个关系不是自反的，但是如果一个序列与某个序列具有相同的极限，具有与其本身相同的限制。S上二元关系的自反闭包是S上最小的自反关系，它是〜的超集。等价地，它是S与S上的同一性关系的联合，形式如下：（≃）=（¯）∪（=）。例如，x <y的自反闭包是x≤y。在集合S上的二元关系的自反性约化或非自反核是最小的关系≆，使得≆共享与〜相同的自反闭包。它可以被看作是自反封闭的反面。 它相当于S上关于〜的形式关系的补充，形式上是：（≆）=（〜）（=）。也就是说，除了x〜x是真的，它相当于〜。例如，x≤y的自反减少是x <y。满足传递性的自反关系称为预序关系。满足反对称性的预序关系称为偏序关系。满足对称性的预序关系称为等价关系。自反关系举例：一个“n”-元素集合上，自反关系的数目是2n2−n.