欧几里得引理

✍ dations ◷ 2025-04-26 11:54:53 #数论,引理

在数论中,欧几里得引理是在欧几里得《几何原本》第七卷的命题30中提出的定理。这个引理说明:

可以这样表达这个引理:

命题30是这样说的:

如果一个素数整除两个正整数的乘积,那么这个素数可以至少整除这两个正整数中的一个。

设p|ab,但不是的因子。于是,可设 r p = a b {\displaystyle rp=ab\!} 是质数,且不是的因子,gcd(,)=1。这就是说,可以找到两个整数和,使得 1 = p x + a y {\displaystyle 1=px+ay\!} ,可得:

前面已经说了 r p = a b {\displaystyle rp=ab\!} 要么整除,要么整除,要么都能整除。证毕。

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