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三尖瓣线
✍ dations ◷ 2025-04-25 12:39:52 #三尖瓣线
三尖瓣线(tricuspoid)也称为Steiner曲线(Steiner curve),是有三个尖点的圆内螺线,是一个圆绕着直径为其三倍的圆内侧无滑动滚动时,圆上一点产生的一般旋轮线三尖瓣线也可以指有三个顶点,之间用向内弯曲的曲线相连的封闭空间,因此三尖瓣线内的空间是非凸集合。三尖瓣线可以用以下的参数方程表示:其中a是小圆的半径,b是大圆(也就是小圆在其内侧无滑动滚动)的半径(此处b = 3a)。在复变座标下可得上述的t可以消去,得到以下的笛卡尔座标下的方程因此三尖瓣线是四阶的代数曲线,在极坐标下为曲线有三个奇点,是对应
t
=
0
,
±
2
π
3
{displaystyle t=0,,pm {tfrac {2pi }{3}}}
的尖点。上述的参数式意味者曲线为有理曲线,也就表示其几何亏格(英语:geometric genus)为零。三尖瓣线的对偶曲线(英语:dual curve)为在原点有一个二重点,若进行一个虚轴上的旋转y ↦ iy,曲线会变为下式,就可以看到其二重点在实平面的原点上有二重点。三尖瓣线的面积为
2
π
a
2
{displaystyle 2pi a^{2}}
,其中a为小圆的半径,其面积是小圆面积的两倍。其周长为16a。早在1599年时,伽利略·伽利莱及马兰·梅森就已开始研究常见的摆线,而奥勒·罗默在1674年研究齿轮的最佳外形时,也有用到摆线。李昂哈德·欧拉认为他是最早(1745年)将三尖瓣线应用在实际光学问题的人。三尖瓣线有应用在许多的数学领域中,举例如下:
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