方根

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:15:27 #初等代数

在数学中,若一个数 b {\displaystyle b} 和是正数。

对于所有的非零复数 a {\displaystyle a} 个不同的复数 b {\displaystyle b} 次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式被变换到幂形式,幂的规则仍适用(即使对分数幂),也就是

例如:

若要做加法或减法,应当注意下列概念是重要的。

若已可以简化根式表达式,则加法和减法简单的是群的“同类项”问题。

例如

经常简单的留着数的次方根不解(就是留着根号)。这些未解的表达式叫做“不尽根数”(surd),它们可以接着被处理为更简单的形式或被安排相互除。

如下恒等式是操纵不尽根数的基本技术:

方根可以表示为无穷级数:

任何数的所有的根,实数或复数的,可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式 a e i φ {\displaystyle ae^{i\varphi }} 次方根给出为:

对于 k = 0 , 1 , 2 , , n 1 {\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1} 是正实数,的复数解由如下简单等式给出:

对于 k = 0 , 1 , 2 , , n 1 {\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1} 的主次方根。

曾经猜想多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达;但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如,方程

的解不能用根号表达。

要解任何次方程,参见根发现算法。

对于正数 A {\displaystyle A} ,可以通过以下算法求得 A n {\displaystyle {\sqrt{A}}} 的值:

A n {\displaystyle {\sqrt{A}}} 之值,亦即求方程 x n A = 0 {\displaystyle x^{n}-A=0} 的根。

f ( x ) = x n A {\displaystyle f(x)=x^{n}-A} ,其导函数即 f ( x ) = n x n 1 {\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}}

以牛顿法作迭代,便得

x k {\displaystyle x_{k}} 为迭代值, y {\displaystyle y} 为误差值。

A = ( x k y ) n {\displaystyle A=(x_{k}-y)^{n}} (*),作牛顿二项式展开,取首两项: A x k n n x k n 1 y {\displaystyle A\approx x_{k}^{n}-nx_{k}^{n-1}y}

调项得 y x k n A n x k n 1 = 1 n ( x k A x k n 1 ) {\displaystyle y\approx {\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left(x_{k}-{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right)}

将以上结果代回(*),得递归公式 x k + 1 = x k y = 1 n {\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-y={\frac {1}{n}}\left}

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