方根

在数学中，若一个数${\displaystyle b}$和是正数。

对于所有的非零复数${\displaystyle a}$个不同的复数${\displaystyle b}$次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式被变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是

例如:

若要做加法或减法，应当注意下列概念是重要的。

若已可以简化根式表达式，则加法和减法简单的是群的“同类项”问题。

例如

经常简单的留着数的次方根不解（就是留着根号）。这些未解的表达式叫做“不尽根数”（surd），它们可以接着被处理为更简单的形式或被安排相互除。

如下恒等式是操纵不尽根数的基本技术:

方根可以表示为无穷级数:

任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式${\displaystyle a{e}^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}$次方根给出为:

对于${\displaystyle k=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1}$是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

对于${\displaystyle k=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1}$的主次方根。

曾经猜想多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程

的解不能用根号表达。

要解任何次方程，参见根发现算法。

对于正数${\displaystyle A}$，可以通过以下算法求得${\displaystyle \sqrt[n]{A}}$的值：

求${\displaystyle \sqrt[n]{A}}$之值，亦即求方程${\displaystyle x^n-<!--\; -\; -->A=0}$的根。

设${\displaystyle f(x)=x^n-<!--\; -\; -->A}$，其导函数即${\displaystyle f^{\prime }(x)=n{x}^{n-<!--\; -\; -->1}}$。

以牛顿法作迭代，便得

设${\displaystyle x_k}$为迭代值，${\displaystyle y}$为误差值。

令${\displaystyle A=(x_k-<!--\; -\; -->y{)}^n}$（*），作牛顿二项式展开，取首两项：${\displaystyle A\approx <!--\; \approx \; -->x_k^n-<!--\; -\; -->n{x}_k^{n-<!--\; -\; -->1}y}$

调项得${\displaystyle y\approx <!--\; \approx \; -->\frac{x_k^n-<!--\; -\; -->A}{n{x}_k^{n-<!--\; -\; -->1}}=\frac{1}{n}\left(x_k-<!--\; -\; -->\frac{A}{x_k^{n-<!--\; -\; -->1}}\right)}$

将以上结果代回（*），得递归公式${\displaystyle x_{k+1}=x_k-<!--\; -\; -->y=\frac{1}{n}}$