阿基米德公理

在抽象代数和分析学中，以古希腊数学家阿基米德命名的阿基米德公理（又称阿基米德性质），是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质。粗略地讲，它是指没有无穷大或无穷小的元素的性质。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五，1883年，奥地利数学家Otto Stolz（英语：Otto Stolz）赋予它这个名字。这个概念源于古希腊对量的理论；如大卫·希尔伯特的几何公理，有序群、有序域和局部域的理论在现代数学中仍然起着重要的作用。阿基米德公理可表述为如下的现代记法： 对于任何实数 x {displaystyle x} ，存在自然数 n {displaystyle n} 有 n > x {displaystyle n>x} 。在现代实分析中，这不是一个公理。它退却为实数具完备性的结果。基于这理由，常以阿基米德性质的叫法取而代之。简单地说，阿基米德性质可以认为以下二句叙述的任一句：这等价于说，对于任何正实数 a {displaystyle a} 、 b {displaystyle b} ，如果 a < b {displaystyle a<b} ，则存在自然数 n {displaystyle n} ，有实数的完备性蕴含了阿基米德性质，证明利用了反证法：假设对所有 n {displaystyle n} ， n a < b {displaystyle na<b} （注意 n a {displaystyle na} 表示 n {displaystyle n} 个 a {displaystyle a} 相加），令 S = { n a | n = 1 , 2 , 3 , . . . } {displaystyle S={na|n=1,2,3,...}} ，则 b {displaystyle b} 为 S {displaystyle S} 的上界（ S {displaystyle S} 上方有界，依实数完备性，必存在最小上界，令其为 α {displaystyle alpha } ），于是 ∀ n = 1 , 2 , 3 , . . . {displaystyle forall n=1,2,3,...} 有得出 α − a {displaystyle alpha -a} 也是 S {displaystyle S} 的一个上界，这与 α {displaystyle alpha } 是最小上界矛盾。这样就由实数的完备性推出了阿基米德性质，但阿基米德性推不出实数的完备性，因为有理数满足阿基米德性，但并不是完备的。