阿基米德公理

✍ dations ◷ 2025-06-28 08:18:53 #阿基米德公理
在抽象代数和分析学中,以古希腊数学家阿基米德命名的阿基米德公理(又称阿基米德性质),是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质。粗略地讲,它是指没有无穷大或无穷小的元素的性质。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五,1883年,奥地利数学家Otto Stolz(英语:Otto Stolz)赋予它这个名字。这个概念源于古希腊对量的理论;如大卫·希尔伯特的几何公理,有序群、有序域和局部域的理论在现代数学中仍然起着重要的作用。阿基米德公理可表述为如下的现代记法: 对于任何实数 x {displaystyle x} ,存在自然数 n {displaystyle n} 有 n > x {displaystyle n>x} 。在现代实分析中,这不是一个公理。它退却为实数具完备性的结果。基于这理由,常以阿基米德性质的叫法取而代之。简单地说,阿基米德性质可以认为以下二句叙述的任一句:这等价于说,对于任何正实数 a {displaystyle a} 、 b {displaystyle b} ,如果 a < b {displaystyle a<b} ,则存在自然数 n {displaystyle n} ,有实数的完备性蕴含了阿基米德性质,证明利用了反证法:假设对所有 n {displaystyle n} , n a < b {displaystyle na<b} (注意 n a {displaystyle na} 表示 n {displaystyle n} 个 a {displaystyle a} 相加),令 S = { n a | n = 1 , 2 , 3 , . . . } {displaystyle S={na|n=1,2,3,...}} ,则 b {displaystyle b} 为 S {displaystyle S} 的上界( S {displaystyle S} 上方有界,依实数完备性,必存在最小上界,令其为 α {displaystyle alpha } ),于是 ∀ n = 1 , 2 , 3 , . . . {displaystyle forall n=1,2,3,...} 有得出 α − a {displaystyle alpha -a} 也是 S {displaystyle S} 的一个上界,这与 α {displaystyle alpha } 是最小上界矛盾。这样就由实数的完备性推出了阿基米德性质,但阿基米德性推不出实数的完备性,因为有理数满足阿基米德性,但并不是完备的。

相关

  • 聚合物降解聚合物降解(polymer degradation)是在聚合物加工过程中,可能在高温和应力作用下或者在聚合物中的微量水分、酸、碱等杂质以及空气中氧的作用,而导致分子链分裂成较小部分,大分子
  • 亚伯拉罕诸教亚伯拉罕诸教,又称亚伯拉罕宗教、亚伯拉罕一神诸教、天启宗教、天启诸教、沙漠一神诸教、闪族一神诸教、闪米特一神诸教、闪米特诸教等,指世界主要的三个有共同源头的一神教─
  • 卡塞塔王宫卡塞塔王宫(意大利语:Reggia di Caserta,意大利语发音:)是位于意大利南部卡塞塔的前皇家宅邸,那不勒斯王国波旁王朝建造的。这是最大的宫殿建筑,也为18世纪建筑在欧洲最大的建筑物
  • 病毒的传播性基本传染数(Basic reproduction number)是在流行病学上,指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染到某种传染病的人,会把疾病传染给其他多少个人的平均数。基本
  • CBi有机铋化学是指研究碳(C)和铋(Bi)之间化学键的化学分支,它自1980年以后才慢慢发展起来。有机铋化合物中,铋可以以+3或+5氧化态存在。有机铋化合物包括烃基铋及其卤化物、铋叶立德
  • dsRNA核糖核酸病毒(英语:RNA virus),又称RNA病毒,其遗传物质为RNA,这些核糖核酸通常是单链RNA(ssRNA),但是也可能是双链RNA(dsRNA)。由RNA病毒感染造成的著名人类疾病包括艾滋病(AIDS)、埃博
  • 乔治一世乔治一世(George I,1660年5月28日-1727年6月11日),原名格奥尔格一世·路德维希,汉诺威选帝侯、英国国王。乔治出生于汉诺威,父亲恩斯特·奥古斯都(德语:Ernst August (Hannover))是汉
  • 挡风玻璃挡风玻璃指的是飞机、汽车、公车、机车以及电车等前面部分的窗户。现代的挡风玻璃通常是以层压过的安全玻璃所制作,里外各一层弯曲的玻璃,中间夹着一层被层压过的塑胶作为安全
  • 追索权追索权(recourse; legal recourse)是指持票人在汇票到期未获付款,到期前未获承兑或其他法定原因发生时,向其前手请求偿还票据金额以及相关损失的票据权利,是法律上为补充付款请求
  • TSP行商问题(最短路径问题)(英语:travelling salesman problem, TSP)是这样一个问题:给定一系列城市和每对城市之间的距离,求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。它是组合