复底数进制

✍ dations ◷ 2025-04-02 10:48:01 #复底数进制

复底数进制是指底数为虚数或复数的进位制系统。其中，底数为虚数的进位制系统由高德纳于1955年提出；底数为复数的进位制系统于1964年由所罗门·I·赫梅利尼克（Solomon I. Khmelnik）和1965年由沃尔特·F·彭尼（Walter F. Penney）提出。

令 ${displaystyle D}$ $D$ 为整环 ${displaystyle subset mathbb {C} }$ ${displaystyle subset mathbb {C} }$ 和 ${displaystyle |cdot |}$ $|cdot |$ 为（阿基米德）绝对赋值。

数 ${displaystyle Xin D}$ ${displaystyle Xin D}$ 在进位制系统中可以表示为：

其中

其势 ${displaystyle R:=|Z|}$ ${displaystyle R:=|Z|}$ 称为分解程度（level of decomposition）

进位制系统或编码系统是一对二元组：

包括了其底数 ${displaystyle rho }$ $rho$ 和位数数码集合 ${displaystyle Z}$ $Z$ 。通常会将有 ${displaystyle R}$ $R$ 个位数数码的位数数码集合表示为：

理想的进位制系统或编码系统具有以下特性：

在这种表示法中，一般常见的标准十进制表示为：

标准二进制系统表示为：

负二进制系统表示为：

平衡三进位系统表示为：

上述这几个进位制系统在 ${displaystyle mathbb {Z} }$ $mathbb {Z}$ 和 ${displaystyle mathbb {R} }$ $R$ 中都具有上述的特性。后两个不需要使用正负号。

较广为人知的复底数进位制系统包括下列几个进位制系统（其中 ${displaystyle mathrm {i} }$ ${displaystyle mathrm {i} }$ 表示虚数单位）：

复数的二元系统是仅使用两个数码——0和1的进位制系统，即位数数码集合为 ${displaystyle Z_{2}={0,1}}$ ${displaystyle Z_{2}={0,1}}$ 的进位制系统，这类记数系统具有较实际的用途。下表列出了一些 ${displaystyle langle rho ,Z_{2}rangle }$ ${displaystyle langle rho ,Z_{2}rangle }$ 的进位制系统（皆为上述进位制系统的特例），并用其表达−1, 2, −2, i。同时也列出标准的二进制（下表的第一列）和“负二进制”（下表的第二列）供比较。这两个进位制无法真正地表达出虚数单位i。

与所有具有阿基米德绝对赋值的进位制系统一样，有些数字具有多种表示形式。此类数字的范例显示在表格的右栏中。这些数都是循环小数，其循环节以上标水平线标记。

若要将一高斯整数 ${displaystyle z}$ $z$ 变换为一个以高斯整数 ${displaystyle b}$ $b$ 为底数的进位制 ${displaystyle leftlangle b,Z_{R}rightrangle }$ ${displaystyle leftlangle b,Z_{R}rightrangle }$ 可以将数分成一个可被底数整除的高斯整数和一个位于位数数码集合内的数，并将可被底数整除的高斯整数部分除以底数当作商，位于位数数码集合内的数当作余数，并用商数继续计算，并重复以上步骤，直到商为零，一系列的余数部分即为变换完成的结果。:41

其中， ${displaystyle q_{1}}$ $q_{1}$ 、 ${displaystyle q_{2}}$ $q_{2}$ 、 ${displaystyle q_{3}}$ ${displaystyle q_{3}}$ …… ${displaystyle q_{t}}$ ${displaystyle q_{t}}$ 为高斯整数， ${displaystyle a_{1}}$ $a_{1}$ 、 ${displaystyle a_{2}}$ $a_2$ 、 ${displaystyle a_{3}}$ ${displaystyle a_{3}}$ …… ${displaystyle a_{t}}$ $a_{t}$ 为位于位数数码集合内的数，

则 ${displaystyle z=left(a_{t}cdots a_{2}a_{1}a_{0}right)_{b}}$ ${displaystyle z=left(a_{t}cdots a_{2}a_{1}a_{0}right)_{b}}$ 。

以5+12i变换成-2+i进制（ ${displaystyle leftlangle -2+mathrm {i} ,{0,1,2,3,4}rightrangle }$ ${displaystyle leftlangle -2+mathrm {i} ,{0,1,2,3,4}rightrangle }$ ）为例：:42

故5+12i₍₁₀₎变换成-2+i进制为2324_(−2+i)。

较常被讨论的复底数进制是2i进制和−1 ± i进制（−1 + i进制和−1 − i进制），因为其皆可不使用正负号有限地表达所有高斯整数。

−1 ± i进制以0和1为基本数码，其于1964年由所罗门·I·赫梅利尼克（Solomon I. Khmelnik）和1965年由沃尔特·F·彭尼（Walter F. Penney）提出。

整数的舍入区域——即在这系统表达之下，共用整数部分的复数（非整数）集合 ${displaystyle S}$ $S$ ——在复平面中具有分形：twindragon。根据定义，集合 ${displaystyle S}$ $S$ 的所有点可以计为 ${displaystyle textstyle sum _{kgeq 1}x_{k}(mathrm {i} -1)^{-k}}$ ${displaystyle textstyle sum _{kgeq 1}x_{k}(mathrm {i} -1)^{-k}}$ ，其中 ${displaystyle x_{k}in Z_{2}}$ ${displaystyle x_{k}in Z_{2}}$ 。 ${displaystyle S}$ $S$ 可以分解成16块 ${displaystyle {tfrac {1}{4}}S}$ ${displaystyle {tfrac {1}{4}}S}$ 。注意到，若 ${displaystyle S}$ $S$ 逆时针旋转135°，则会得到两个与 ${displaystyle {tfrac {1}{sqrt {2}}}S}$ ${displaystyle {tfrac {1}{sqrt {2}}}S}$ 相等的相邻集合，因为 ${displaystyle (mathrm {i} -1)S=Scup (S+1)}$ ${displaystyle (mathrm {i} -1)S=Scup (S+1)}$ 。中心的矩形 R 在以下点逆时针地与坐标轴相交： ${displaystyle {tfrac {2}{15}}gets 0.{overline {00001100}}}$ ${displaystyle {tfrac {2}{15}}gets 0.{overline {00001100}}}$ 、 ${displaystyle {tfrac {1}{15}}mathrm {i} gets 0.{overline {00000011}}}$ ${displaystyle {tfrac {1}{15}}mathrm {i} gets 0.{overline {00000011}}}$ 、 ${displaystyle -{tfrac {8}{15}}gets 0.{overline {11000000}}}$ ${displaystyle -{tfrac {8}{15}}gets 0.{overline {11000000}}}$ 和 ${displaystyle -{tfrac {4}{15}}mathrm {i} gets 0.{overline {00110000}}}$ ${displaystyle -{tfrac {4}{15}}mathrm {i} gets 0.{overline {00110000}}}$ 。因此，S 包含所有绝对值≤ 1/15的复数:206。

由此，复矩形

透过单射

映入实数区间 ${displaystyle 。</p><p>此外，还有两个映射</p><p>和</p><p>两者皆满射，也就是产生了一个满射（空间填充）的映射</p><p>然而，其并不连续，因此不是空间填充曲线。但是一个类似的曲线——戴维斯-高德纳龙（Davis-Knuth dragon），是连续的空间填充曲线。</p> </div> <div class=$

相关

美国内战(4年3周6日) (最后一枚炮弹于1865年6月22日发射)联邦胜利亚伯拉罕·林肯埃德温·M·斯坦顿尤利西斯·S·格兰特威廉·T·舍曼大卫·法拉格特乔治·B·麦克莱伦亨利·韦
亚拉姆语阿拉姆语（帝国亚拉姆语：ܐܪܡܝܐ‎；汉译为亚拉姆语、亞蘭語、阿拉姆語、阿拉米语、阿拉美语或阿辣米语，下称阿拉姆语）是闪米特语族（闪族）的一种语言，与希伯来语和阿拉伯语相近。阿
陈强陈强（1918年－2012年6月26日），原名陈庆三，中国大陆电影表演艺术家，获得第29届百花奖终身成就奖。曾主演经典影片《红色娘子军》、《白毛女》等，以反派角色见长，此外也曾参加拍摄多部
各国伊斯兰教伊斯兰是仅次于基督教的世界第二大宗教。根据2011年发布的一项研究，伊斯兰教拥有18亿信徒，占据超过世界人口的23%。伊斯兰教在中东、萨赫勒、非洲之角、北非地区是主导宗教和
全超导托卡马克核聚变实验装置先进实验超导托卡马克实验装置（英语：Experimental Advanced Superconducting Tokamak，缩写：EAST），原名HT－7U，又被称为“人造太阳”、东方超环，是中国科学院等离子体物理研究所在中国
中国地质大学出版社中国地质大学出版社是中华人民共和国的一家出版社，成立于1985年2月，社址位于湖北省武汉市，由中华人民共和国教育部主管，中国地质大学主办。
土屋隆夫土屋隆夫（1917年1月25日－2011年11月14日），日本长野县人，日本推理小说大师，1963年以《影子的控诉》（中名:影子的告发）获得第十六届日本推理作家协会奖，并于2002年荣获第五届日本推理文
殷小玮殷小玮（1973年4月－2019年11月26日），男，山东安丘人，中国材料科学家，西北工业大学教授。1973年4月出生。山东安丘人。1995年西北工业大学航天系本科毕业，获学士学位。1997年3月加入中国共产党。其后师从张立同院士深造，于2001年3月获西北工业大学工学博士学位。2001年4月在上海明华软件技术发展有限公司任工程师。2002年3月至2004年9月受戴维斯夫人基金会资助，在以色列理工学院从事博士后科研工作；2005年1月至2006年6月，作为洪堡学者，在德国埃朗根-纽伦堡大学从事博士后科研工
奥克桑德罗·格拉基奥克桑德罗·格拉基（乌克兰语：Олександр Миколайович Гладкий；1987年8月24日－）是一位乌克兰足球运动员。在场上的位置是前锋。他现在效力于乌克兰足球超级联赛球队顿涅茨克矿工。他也代表乌克兰国家足球队参赛。
异教徒 (2006年电影)《异教徒》（英语：）是一部2006年美德合拍的恐怖片，1973年英国电影《异教徒》的重拍版并改编自大卫·平纳（英语：David Pinner）的1967年小说《仪式（英语：Ritual (Pinner novel)）》。电影由尼尔·拉布特（英语：Neil LaBute）自编自导，尼古拉斯·凯奇主演。一名调查小岛上年轻女孩失踪案的警长发现，岛上神秘的新异教社区中藏有更大的谜团待解开。电影2006年9月1日在美国和加拿大上映，德国于11月2日上映。《异教徒》在外界差评如潮，全球3880万美元的票房未能收回成本