置换

排列（英语：Permutation）是将相异对象或符号根据确定的顺序重排。每个顺序都称作一个排列。例如，从一到六的数字有720种排列，对应于由这些数字组成的所有不重复亦不阙漏的序列，例如"4, 5, 6, 1, 2, 3" 与1, 3, 5, 2, 4, 6。置换（排列）的广义概念在不同语境下有不同的形式定义：此节使用排列的传统定义。从 n {displaystyle n} 个相异元素中取出 k {displaystyle k} 个元素， k {displaystyle k} 个元素的排列数量为：其中P意为Permutation（排列），!表示阶乘运算。以赛马为例，有8匹马参加比赛，玩家需要在彩票上填入前三胜出的马匹的号码，从8匹马中取出3匹马来排前3名，排列数量为：因为一共存在336种可能性，因此玩家在一次填入中中奖的概率应该是：不过，中国大陆的教科书则是把从n取k的情况记作 P n k {displaystyle P_{n}^{k}} 或 A n k {displaystyle A_{n}^{k}} （A代表Arrangement，即排列）。上面的例子是建立在取出元素不重复出现状况。从 n {displaystyle n} 个元素中取出 k {displaystyle k} 个元素， k {displaystyle k} 个元素可以重复出现，这排列数量为：以四星彩为例，10个数字取4个数字，因可能重复所以排列数量为：这时的一次性添入中奖的概率就应该是：在集合论与抽象代数等领域中，“置换”一词被保留为集合（通常是有限集）到自身的双射的一个称呼。例如对于从一到十的数字构成的集合，其置换将是从集合 { 1 , … , 10 } {displaystyle {1,ldots ,10}} 到自身的双射。因此，置换是拥有相同定义域与上域的函数，且其为双射的。一个集合上的置换在函数合成运算下构成一个群，称为对称群或置换群。以下仅考虑有限集上的置换（视为双射），由于 n {displaystyle n} 个元素的有限集可以一一对应到集合 { 1 , … , n } {displaystyle {1,ldots ,n}} ，有限集的置换可以化约到形如 {1, ..., n} 的集合之置换。此时有两种表示法。第一，利用矩阵符号将自然排序写在第一列，而将置换后的排序写在第二列。例如：表示集合 {1,2,3,4,5} 上的置换 s : s ( 1 ) = 2 , s ( 2 ) = 5 , s ( 3 ) = 4 , s ( 4 ) = 3 , s ( 5 ) = 1 {displaystyle s:s(1)=2,s(2)=5,s(3)=4,s(4)=3,s(5)=1} 。第二，借由置换的相继作用描述，这被称为“轮换分解”。分解方式如下：固定置换 s {displaystyle s} 。对任一元素 x {displaystyle x} ，由于集合有限而 s {displaystyle s} 是双射，必存在正整数 N {displaystyle N} 使得 s N ( x ) = x {displaystyle s^{N}(x)=x} ，故可将置换 s {displaystyle s} 对 x {displaystyle x} 的相继作用表成 ( x s ( x ) s 2 ( x ) ⋯ s m − 1 ( x ) ) {displaystyle (x;s(x);s^{2}(x)cdots s^{m-1}(x))} ，其中 m {displaystyle m} 是满足 s m ( x ) = x {displaystyle s^{m}(x)=x} 的最小正整数。称上述表法为 x {displaystyle x} 在 s {displaystyle s} 下的轮换， m {displaystyle m} 称为轮换的长度。我们在此将轮换视作环状排列，例如是同一个轮换。由此可知 x {displaystyle x} 在 s {displaystyle s} 下的轮换只决定于 x {displaystyle x} 在 s {displaystyle s} 作用下的轨道，于是，任两个元素 x , y {displaystyle x,y} 或给出同一个轮换，或给出不交的轮换。我们将轮换 ( x 1 ⋯ x m ) {displaystyle (x_{1};cdots x_{m})} 理解为一类特殊的置换：仅须定义置换 s {displaystyle s} 为 s : x 1 ↦ x 2 , … , x m − 1 ↦ x m , x m ↦ x 1 {displaystyle s:x_{1}mapsto x_{2},ldots ,x_{m-1}mapsto x_{m},x_{m}mapsto x_{1}} ，而在其它元素上定义为恒等映射。不交的轮换在函数合成的意义下可相交换。因此我们可以将集合 {1, ..., n} 对一置换分解成不交轮换的合成，此分解若不计顺序则是唯一的。例如前一个例子的 s {displaystyle s} 就对应到 (1 2 5) (3 4) 或 (3 4) (1 2 5)。轮换一是种特殊的排列。如果给定 f : X → X {displaystyle f:Xrightarrow X} 是 X {displaystyle X} 上的一个排列， A {displaystyle A} 为 X {displaystyle X} 上的一个子集。若有∃ A ∈ X , A = { x 1 , x 2 , ⋯ , x l } {displaystyle exists Ain X,A={x_{1},x_{2},cdots ,x_{l}}}{ f ( x 1 ) = x 2 , f ( x 2 ) = x 3 , ⋯ , f ( x l ) = x 1 f ( x ) = x , x ∉ A {displaystyle {begin{cases}f(x_{1})=x_{2},f(x_{2})=x_{3},cdots ,f(x_{l})=x_{1}\f(x)=x,xnot in Aend{cases}}}则称 f {displaystyle f}  为一个轮换。 l {displaystyle l}  为轮换的长度。在上节的轮换表法中，长度等于二的轮换称为换位，这种轮换 ( x y ) {displaystyle (x;y)} 不外是将元素 x , y {displaystyle x,y} 交换，并保持其它元素不变。对称群可以由换位生成。由于轮换长度为 l {displaystyle l} 的轮换 C {displaystyle C} 可分解为最少 k = l − 1 {displaystyle k=l-1} 个换位，若 k {displaystyle k} 为偶数，则 C {displaystyle C} 为偶轮换，否则C为奇轮换。即轮换的长度为奇数，该轮换为偶轮换；轮换的长度为偶数，该轮换为奇轮换。由此可定义任一排列的奇偶性，并可证明：一个排列是偶排列的充要条件是它可以由偶数个换位生成。偶轮换在置换群中构成一个正规子群，称为交错群。某些旧课本将排列视为变量值的赋值。在计算机科学中，这就是将值赋予变量的赋值运算子，并要求每个值只能赋予一个变量。赋值/代入的差别表明函数式编程与指令式编程之差异。纯粹的函数式编程并不提供赋值机制。现今数学的惯例是将排列看作函数，其间运算看作函数合成，函数式编程也类似。就赋值语言的观点，一个代入是将给定的值“同时”重排，这是个有名的问题。取一个无向图G，将图G的n个顶点标记v1,...,vn，对应一个排列( s(1) s(2) ... s(n) )，当且仅当s(i) < s(j) 而 i > j，则图的vi和vj相连，这样的图称为排列图。排列图的补图必是排列图。多数计算机都有个计算排列数的 nPr 键。然而此键在一些最先进的桌上型机种中却被隐藏了。例如：在 TI-83 中，按 MATH、三次右键、再按二。在卡西欧的图形计算机中，按 OPTN，一次右键（F6）、PROB（F3）、nPr（F2）。多数试算表软件都有函式 PERMUT(Number，Number chosen)，用以计算排列。Number 是描述对象数量的一个整数，Number chosen 是描述每个排列中所取对象数的整数。