Delta位势阱

在量子力学里，Delta位势阱是一个阱内位势为负狄拉克Delta函数，阱外位势为0的位势阱。Delta位势阱问题专门研讨，在这种位势的作用中，一个粒子的量子行为。这是一个常见的理论问题。假若，粒子的能量是正值的，我们想要知道的是，在被Delta位势垒散射的状况下，粒子的反射系数与透射系数。假若，粒子的能量是负值的，这粒子会被束缚于Delta位势阱的阱内。这时，我们想要知道的是粒子的能量与束缚的量子态。

一个粒子独立于时间的薛定谔方程为

其中，${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$是约化普朗克常数，${\displaystyle m}$是粒子质量，${\displaystyle x}$是粒子位置，${\displaystyle E}$是能量，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$是波函数，${\displaystyle V(x)}$是位势，表达为

其中，${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x)}$是狄拉克Delta函数，${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$是狄拉克Delta函数的强度。

这位势阱将一维空间分为两个区域：与${\displaystyle x>0}$。在任何一个区域内，位势为常数，薛定谔方程的解答可以写为往右与往左传播的波函数的的叠加（参阅自由粒子）：

其中，${\displaystyle A_r}$、${\displaystyle A_l}$、${\displaystyle B_r}$、${\displaystyle B_l}$都是必须由边界条件决定的常数，下标${\displaystyle r}$与${\displaystyle l}$分别标记波函数往右或往左的方向。${\displaystyle k=\sqrt{2mE/{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}}$是波数。

当${\displaystyle E>0}$时，${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_L}$与${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_R}$都是行进波。可是，当时，${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_L}$与${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_R}$都随着坐标${\displaystyle x}$呈指数递减或指数递增。

在${\displaystyle x=0}$处，边界条件是：

特别注意第二个边界条件方程，波函数随位置的导数在${\displaystyle x=0}$并不是连续的，在位势阱两边的差额有${\displaystyle \frac{2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_R}$这么多。这方程的推导必须用到薛定谔方程。将薛定谔方程积分于${\displaystyle x=0}$的一个非常小的邻域：

其中，${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$是一个非常小的数值。

方程(1)右边的能量项目是

当${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\to <!--\; \to \; -->0}$时，该项趋向于0。

方程(1)左边是

根据狄拉克Delta函数的定义，

而在${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\to <!--\; \to \; -->0}$的极限，

将这些结果(4)，(5)，(6)代入方程(3)，整理后，可以得到第二个边界条件方程：在${\displaystyle x=0}$，

从这两个边界条件方程。稍加运算，可以得到以下方程：

假若，能量是正值的，粒子可以自由的移动于位势阱外的两个半空间，或${\displaystyle x>0}$。在这里，粒子的量子行为主要是由Delta位势阱造成的散射行为。称这粒子的量子态为散射态。设定粒子从左边入射。在Delta位势阱，粒子可能会被反射回去，或者会被透射过去。我们想要知道散射的反射系数与透射系数。设定${\displaystyle A_r=1}$，${\displaystyle A_l=r}$，${\displaystyle B_l=0}$，${\displaystyle B_r=t}$。求算反射的概率幅${\displaystyle r}$与透射的概率幅${\displaystyle t}$：

反射系数是

这纯粹是一个量子力学的效应；在经典力学里，这是不可能发生的。

透射系数是

每一个一维的吸引位势，都至少会存在着一个束缚态（bound state）。由于，波数变为复数。设定${\displaystyle \mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}=-<!--\; -\; -->ik=\sqrt{2m|E|/{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}}$。前述的振荡的波函数${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_L}$与${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_R}$，现在却随着坐标${\displaystyle x}$呈指数递减或指数递增。为了要符合物理的真实性，我们要求波函数不发散于${\displaystyle x\to <!--\; \to \; -->\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$。那么，${\displaystyle A_r}$与${\displaystyle B_l}$必须被设定为0。波函数变为

从边界条件与归一条件，可以得到

Delta位势阱只能有一个束缚态。束缚态的能量是

束缚态的波函数是

Delta位势阱是有限深方形阱的一个特别案例。在有限深位势阱的深度${\displaystyle V_0\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$与阱宽${\displaystyle L\to <!--\; \to \; -->0}$的极限，同时保持${\displaystyle V_{0}L=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$，就可以从有限深位势阱的波函数，得到Delta位势阱的波函数。

Delta函数模型其实是氢原子的一维版本根据维度比例由 达德利·赫施巴赫（“Dudley R. Herschbach”）团队所研发。此 delta函数模型以双井迪拉克Delta函数模型最有用，因其代表一维版的水分子离子。

双井迪拉克Delta函数模型是用以下薛定谔方程描述：

电势现为：

其中是“核间”距离于迪拉克Delta函数（负）峰值位于${\displaystyle x=\pm <!--\; \pm \; -->\frac{R}{2}}$（图表中棕色所示）。记得此模型与其三维分子版本的关系，我们用原子单位制且设${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}=m=1}$。此处为一可调参数。从单井的例子，可推论拟设于此解为：

令波函数于Delta函数峰值相等可得行列式：

因此，${\displaystyle d}$是由伪二次式方程：

它有两解${\displaystyle d=d_{\pm <!--\; \pm \; -->}}$。若等价情况（对称单核），${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=1}$则伪二次式化为：

此“+”代表了对称于中点的波函数（图中红色）而${\displaystyle A=B}$称为偶态。接着，“-”情况为反对称于中点的波函数其${\displaystyle A=-<!--\; -\; -->B}$称为非偶态（图中绿色）。它们代表着三维${\displaystyle H_2^{+}}$的两种最低能态之近似且有助于其分析。对称电价的特征能分析解为：

其中W是标准朗伯W函数注意此最低能对应于对称解${\displaystyle d_{+}}$。当非等电价，此为三维分子问题，其解为一般化Lambert W函数（见一般化朗伯W函数章节与相关参考）。