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整除
✍ dations ◷ 2025-09-18 11:30:32 #整除
数学中,尤其是在基本计算里,除法可以看成是“乘法的反运算”,也可以理解为“重复的减法”。除法运算的本质就是“把参与运算的除数变为
1
{displaystyle 1}
,得出被除数的值”。例如:
6
÷
3
=
2
{displaystyle {{6}div {3}}=2}
,就好像
6
−
3
−
3
=
0
{displaystyle {{{6}-{3}}-{3}}=0}
,
{
6
−
3
=
3
3
−
3
=
0
{displaystyle {begin{cases}6-3=3\3-3=0end{cases}}}
,
6
{displaystyle 6}
被
3
{displaystyle 3}
减了两次后,就变成了
0
{displaystyle 0}
。如果而且
b
{displaystyle b}
不等于零,那么其中,a称为商数,b称为除数,c称为被除数。如果除式的商数(
a
{displaystyle a}
)必须是整数,则称为带余除法,
a
×
b
{displaystyle atimes b}
与
c
{displaystyle c}
相差的数值,称为余数(
d
{displaystyle d}
)。这也意味着在高等数学(包括在科学与工程学中)和计算机编程语言中,
c
÷
b
{displaystyle cdiv b}
写成
c
/
b
{displaystyle c/b}
。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用,这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中寻找商数的函数为
div
{displaystyle operatorname {div} }
,寻找余数的函数则为
mod
{displaystyle operatorname {mod} }
。在大部分的非英语语言中,
c
:
b
{displaystyle c:b}
代表
c
÷
b
{displaystyle cdiv b}
的比,读做c比b;
c
/
b
{displaystyle c/b}
则代表
c
÷
b
{displaystyle cdiv b}
的比值。用法请参照比例。整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数
a
{displaystyle a}
可以被自然数
b
{displaystyle b}
整除,是指
b
{displaystyle b}
是
a
{displaystyle a}
的约数,且a是b的整数倍数,也就是
a
{displaystyle a}
除以
b
{displaystyle b}
没有余数。约数判别法可参照整除规则。b
∣
a
{displaystyle bmid a}
表示
b
{displaystyle b}
整除
a
{displaystyle a}
,即
a
{displaystyle a}
是
b
{displaystyle b}
的倍数,
b
{displaystyle b}
是
a
{displaystyle a}
的因数。15
{displaystyle 15}
可以被
5
{displaystyle 5}
整除,记作
5
∣
15
{displaystyle 5mid 15}
。20
{displaystyle 20}
不能被
6
{displaystyle 6}
整除(因为余数为
2
{displaystyle 2}
),记作
6
∤
20
{displaystyle 6nmid 20}
。在
∣
{displaystyle mid }
上加一条斜线即表示不整除。根据乘法表,两个整数可以用长除法(直式除法)笔算。如果被除数有分数部分(或者说时小数点),计算时将小数点带下来就可以;如果除数有小数点,将除数与被除数的小数点同时移位,直到除数没有小数点。算盘也可以做除法运算。长除法俗称“长除”,适用于正式除法、小数除法、多项式除法(即因式分解)等较重视计算过程和商数的除法,过程中兼用了乘法和减法。使用长除法计算
1260257
÷
37
=
34061
{displaystyle {{1260257}div {37}}=34061}
的过程可以表示为:短除法是长除法的简化版本。在短除法里,被除数放中央,旁以一L型符号表示除法,被除数左侧为除数,下侧为商,省去了长除法逐层计算的过程。和整数之间的带余除法类似,一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明,设有多项式
A
{displaystyle A}
和非零多项式
B
{displaystyle B}
,则存在唯一的多项式
Q
{displaystyle Q}
和
R
{displaystyle R}
,满足:而多项式
R
{displaystyle R}
若非零多项式,则其幂次严格小于
B
{displaystyle B}
的幂次。作为特例,如果要计算某个多项式
P
{displaystyle P}
除以一次多项式
X
−
a
{displaystyle X-a}
得到的余多项式,可以直接将
a
{displaystyle a}
代入到多项式
P
{displaystyle P}
中。
P
{displaystyle P}
除以
X
−
a
{displaystyle X-a}
的余多项式是
P
(
a
)
{displaystyle P(a)}
。具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如,计算
X
3
−
12
X
2
−
42
{displaystyle X^{3}-12X^{2}-42}
除以
X
−
3
{displaystyle X-3}
,列式如下:因此,商式是
X
2
−
9
X
−
27
{displaystyle X^{2}-9X-27}
,余式是
−
123
{displaystyle -123}
。通常不定义除以零这种形式。亦即当除以0 或分数的分母为0 时,该式或该数无意义。
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