整除

数学中，尤其是在基本计算里，除法可以看成是“乘法的反运算”，也可以理解为“重复的减法”。除法运算的本质就是“把参与运算的除数变为 1 {displaystyle 1} ，得出被除数的值”。例如： 6 ÷ 3 = 2 {displaystyle {{6}div {3}}=2} ，就好像 6 − 3 − 3 = 0 {displaystyle {{{6}-{3}}-{3}}=0} ， { 6 − 3 = 3 3 − 3 = 0 {displaystyle {begin{cases}6-3=3\3-3=0end{cases}}} ， 6 {displaystyle 6} 被 3 {displaystyle 3} 减了两次后，就变成了 0 {displaystyle 0} 。如果而且 b {displaystyle b} 不等于零，那么其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。如果除式的商数（ a {displaystyle a} ）必须是整数，则称为带余除法， a × b {displaystyle atimes b} 与 c {displaystyle c} 相差的数值，称为余数（ d {displaystyle d} ）。这也意味着在高等数学（包括在科学与工程学中）和计算机编程语言中， c ÷ b {displaystyle cdiv b} 写成 c / b {displaystyle c/b} 。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用，这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中寻找商数的函数为 div {displaystyle operatorname {div} } ，寻找余数的函数则为 mod {displaystyle operatorname {mod} } 。在大部分的非英语语言中， c : b {displaystyle c:b} 代表 c ÷ b {displaystyle cdiv b} 的比，读做c比b； c / b {displaystyle c/b} 则代表 c ÷ b {displaystyle cdiv b} 的比值。用法请参照比例。整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数 a {displaystyle a} 可以被自然数 b {displaystyle b} 整除，是指 b {displaystyle b} 是 a {displaystyle a} 的约数，且a是b的整数倍数，也就是 a {displaystyle a} 除以 b {displaystyle b} 没有余数。约数判别法可参照整除规则。b ∣ a {displaystyle bmid a} 表示 b {displaystyle b} 整除 a {displaystyle a} ，即 a {displaystyle a} 是 b {displaystyle b} 的倍数， b {displaystyle b} 是 a {displaystyle a} 的因数。15 {displaystyle 15} 可以被 5 {displaystyle 5} 整除，记作 5 ∣ 15 {displaystyle 5mid 15} 。20 {displaystyle 20} 不能被 6 {displaystyle 6} 整除（因为余数为 2 {displaystyle 2} ），记作 6 ∤ 20 {displaystyle 6nmid 20} 。在 ∣ {displaystyle mid } 上加一条斜线即表示不整除。根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。算盘也可以做除法运算。长除法俗称“长除”，适用于正式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。使用长除法计算 1260257 ÷ 37 = 34061 {displaystyle {{1260257}div {37}}=34061} 的过程可以表示为：短除法是长除法的简化版本。在短除法里，被除数放中央，旁以一L型符号表示除法，被除数左侧为除数，下侧为商，省去了长除法逐层计算的过程。和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明，设有多项式 A {displaystyle A} 和非零多项式 B {displaystyle B} ，则存在唯一的多项式 Q {displaystyle Q} 和 R {displaystyle R} ，满足：而多项式 R {displaystyle R} 若非零多项式，则其幂次严格小于 B {displaystyle B} 的幂次。作为特例，如果要计算某个多项式 P {displaystyle P} 除以一次多项式 X − a {displaystyle X-a} 得到的余多项式，可以直接将 a {displaystyle a} 代入到多项式 P {displaystyle P} 中。 P {displaystyle P} 除以 X − a {displaystyle X-a} 的余多项式是 P ( a ) {displaystyle P(a)} 。具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算 X 3 − 12 X 2 − 42 {displaystyle X^{3}-12X^{2}-42} 除以 X − 3 {displaystyle X-3} ，列式如下：因此，商式是   X 2 − 9 X − 27 {displaystyle X^{2}-9X-27} ，余式是   − 123 {displaystyle -123} 。通常不定义除以零这种形式。亦即当除以0 或分数的分母为0 时，该式或该数无意义。