佩尔方程

✍ dations ◷ 2025-05-11 12:16:54 #数论,丢番图方程

若一个丢番图方程具有以下的形式：

且 $n {\displaystyle n}$ _i,_i)为佩尔方程的解。取其中最小的 $i {\displaystyle i}$ _i,_i)称为佩尔方程的基本解，或最小解，记作(₁,₁)，则所有的解(_i,_i)可表示成如下形式：

或者由以下的递回关系式得到：

首先根据根号7的渐进连分数表示，找出前几项，察看（分子，分母）是否是一组解。

例如 $x^{2}-7y^{2}=2$ ,)是佩尔方程的解当且仅 $x+y{\sqrt {n}}$ ()和 ()分别是第一类和第二类切比雪夫多项式的相应项，那么它们是佩尔形式方程 $T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1$ ,)是佩尔方程的第个解，那么

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