转移矩阵

✍ dations ◷ 2025-07-19 07:02:58 #转移矩阵
在数学中,随机矩阵(stochastic matrix)是用来描述一个马尔可夫链的转变的矩阵,亦称为概率矩阵(probability matrix)、转移矩阵(transition matrix)、替代矩阵(substitution matrix)或马尔可夫矩阵(Markov matrix)。它的每一项都是一个表示概率的非负实数。它适用于概率论、统计学和线性代数,也在计算机科学和群体遗传学中使用。 有几种不同的定义和类型随机矩阵:同理,可以定义随机向量(也称为概率向量)为元素为非负实数且和为1的向量。因此,右随机矩阵的每一行(或左随机矩阵的每一列)都是一个随机向量。在英语数学文献中的惯例是用概率的行向量和概率的右随机矩阵,而不用列向量和左随机矩阵,本文遵循此惯例。随机矩阵描述了在一个有限状态空间 S 上的马尔可夫链 X t {displaystyle {boldsymbol {X}}_{t}} 。如果在一个时间步长内从 i {displaystyle i} 到 j {displaystyle j} 移动的概率为 Pr ⁡ ( j | i ) = P i , j {displaystyle operatorname {Pr} (j|i)=P_{i,j}} ,随机矩阵 P 的第 i {displaystyle i} 行,第 j {displaystyle j} 列元素由 P i , j {displaystyle P_{i,j}} 给出,例如,由于从状态 i {displaystyle i} 到下一状态的概率总和必须是 1,这个矩阵是一个右随机矩阵,于是从 i {displaystyle i} 到 j {displaystyle j} 分两步转变的概率由然后由给定的 P {displaystyle P} 的平方矩阵的 ( i , j ) {displaystyle (i,j)} 号元素给出:一般地,在由矩阵 P {displaystyle P} 给出的有限马尔可夫链上从任何状态转移到另一个状态的 k 步转移概率为 P k {displaystyle P^{k}} 。初始分布为一个行向量。平稳概率向量 π {displaystyle {boldsymbol {pi }}} 定义为不随转移矩阵的运用而变化的一个向量;也就是说,它定义为概率矩阵的左特征向量,其特征值为1:佩龙一弗罗宾尼斯定理(英语:Perron–Frobenius theorem)保证了每个随机矩阵都具有这样的向量,而特征值的最大绝对值始终为1。在一般情况下,可能有多个这样的向量。然而,对于具有严格正项的矩阵,该向量是唯一的,并可以观察到对任意 i {displaystyle i} 我们都有以下极限而求出,其中 π j {displaystyle {boldsymbol {pi }}_{j}} 是行向量 π {displaystyle {boldsymbol {pi }}} 的第 j {displaystyle j} 个元素。在其他方面,这表示处在状态 j {displaystyle j} 下的长期概率与初始状态 i {displaystyle i} 是独立的。这两种计算得到相同的稳定向量是遍历定理的一种形式,在各种各样的耗散动力系统广泛成立:该系统随着时间演变到定态。直观地看,随机矩阵表示一个马尔可夫链;对概率分布应用随机矩阵,就是将原始分布的概率质量进行重新分布,同时保持其总质量。如果反复应用此过程,分布就会收敛为马尔可夫链的平稳分布。转移矩阵可用以表示概率(或变化比率),而矩阵相乘的结果可用以预测未来事件发生的概率。设 A {displaystyle mathbf {A} } 、 B {displaystyle mathbf {B} } 为二个n×n阶转移矩阵,则以下亦为转移矩阵:假设你有一个计时器和五个相邻的格子排成一行,零时刻有一只猫在第一个格子中,而一只老鼠在第五个格子中。在计时器增加的时候猫和老鼠都会随机跳到一个相邻的格子中。例如,如果猫在第二个格子,老鼠在第四个,在计时器增加后,猫会出现在第一个格子且老鼠会出现在第五个格子的概率为1/4。如果猫在第一个格子而老鼠在第五个,那么计时器增加后,猫会出现在第二个格子且老鼠会出现在第四个的概率为1。当它们处于同一个格子的时候,猫会吃掉老鼠,游戏结束。随机变量 K 给出了老鼠仍留在游戏中的时间步长。表示这个包含五种位置组合 (猫,鼠) 的状态的游戏的马尔可夫链为:我们使用一个随机矩阵来表示这个系统的转移概率(这个矩阵中的行和列用上面提到的可能状态来索引),无论初始状态是什么,猫最终都会抓到老鼠(概率为1),且极限为稳态 π = (0,0,0,0,1)。要计算随机变量 Y 的长期平均或期望值。对每种状态 Sj 和时间 tk,都有 Yj,k·P(S=Sj,t=tk) 的贡献。生存与否可以视作一个二值变量,Y=1 代表生存状态而 Y=0 代表终止状态。Y=0 的状态不对长期平均有贡献。由于状态 5 是一个吸收态,吸收对时间的分布为离散位相型分布(英语:Discrete phase-type distribution)。假设系统从状态 2 开始,表示为向量 [ 0 , 1 , 0 , 0 , 0 ] {displaystyle } 。老鼠死亡后的状态不会对生存平均产生影响,所以状态五可以忽略。初始状态和转移矩阵可以化简为,以及,其中 I {displaystyle I} 为单位矩阵, 1 {displaystyle mathbf {1} } 表示全为1的列矩阵,进行状态的相加。由于每个状态都占据一个时间步长,老鼠生存时间的期望就是在所有生存状态和时间步长中占据的概率之和,其高阶矩为

相关

  • 依哌唑胺依哌唑胺(英语:Eperezolid)是一种恶唑烷酮(英语:oxazolidinone)类抗生素。医学导航:病菌细菌(分类)gr+f/gr+a(t)/gr-p(c/gr-o药物(J1p、w、n、m、疫苗)
  • 根霉根霉属(学名:Rhizopus)真菌主要外观特征为具有假根(rhizoid)及匍匐菌丝(stolon)。孢子囊柄(sporangiophore)以单支或数支成束的方式自匍匐菌丝长出,孢子囊柄基部往往与假根基部相对。
  • 革兰氏阴性细菌革兰氏阴性菌(英语:Gram-negative bacteria)泛指革兰氏染色反应呈红色的细菌。在革兰氏染色实验中,首先添加了结晶紫,再添入另一种复染染料(通常使用番红),从而将所有的革兰氏阴性菌
  • 扶余-新罗语系朝鲜语系,或称朝鲜语族,又作韩语系、韩语族、高丽语系,是东亚地区的一个假定的语系,包括现代的韩国语、济州语,以及一些已经灭亡的语言。目前,朝鲜语系主要通行于朝鲜半岛以及满洲
  • 磁铁磁铁或称磁石,是可以吸引铁并于其外产生磁场的物体。狭义的磁铁指磁铁矿石的制品,广义的磁铁指的是用途为产生磁场的物体或装置。磁铁作为磁偶极子,能够吸引铁磁性物质,例如铁、
  • 磷酸戊糖途径磷酸戊糖途径(英语:Pentose phosphate pathway)也称为戊糖磷酸途径、五碳糖磷酸途径、磷酸戊糖旁路(对应于双磷酸己糖降解途径,即Embden-Meyerhof途径)。是一种葡萄糖代谢途径。这
  • pH值pH,亦称pH值、氢离子浓度指数、酸碱值、(音ㄌㄧㄥˊ)标值,是溶液中氢离子活度的一种标度,也就是通常意义上溶液酸碱程度的衡量标准。这个概念是1909年由丹麦生物化学家瑟伦·索伦
  • 所罗门·斯奈德所罗门·哈尔伯特·斯奈德(英语:Solomon Halbert Snyder,1938年12月26日-),美国神经学家,生于华盛顿。斯奈德毕业于乔治城大学,现在是约翰斯·霍普金斯大学医学院的精神病学、神经科
  • 鹿特丹鹿特丹(荷兰语:Rotterdam 荷兰语发音:.mw-parser-output .IPA{font-family:"Charis SIL","Doulos SIL","Linux Libertine","Segoe UI","Lucida Sans Unicode","Code2000","Gent
  • 检查检查文化是指中国大陆所独有的一种下级官员欺瞒上级官员及造假的特殊官场风气,实际是一种形式主义。通常的表现形式为:接到上级领导巡视的通知后,下级官员会事先营造良好的环境