正比

✍ dations ◷ 2025-04-04 09:21:26 #正比
在数学中,比例是两个非零数量 y {displaystyle y} 与 x {displaystyle x} 之间的比较关系,记为 y : x ( x , y ∈ R ) {displaystyle y:x;(x,yin mathbb {R} )} ,在计算时则更常写为 y x {displaystyle {frac {y}{x}}} 或 y / x {displaystyle y/x} 。若两个变量的关系符合其中一个量是另一个量乘以一个常数( y = k x {displaystyle y=kx} ),或等价地表达为两变数之比率为一个常数(称为比值, y / x = k {displaystyle y/x=k} ),则称两者是成比例的。如果 y {displaystyle y} 与 x {displaystyle x} 是可通约的,亦即它们之间存在一个公测量(common measure) m ( m ∈ R ) {displaystyle m;(min mathbb {R} )} 使得 y = m p , x = m q ( p , q ∈ Z ) {displaystyle y=mp,x=mq;(p,qin mathbb {Z} )} , y : x {displaystyle y:x} 就相等于两个整数的比: y : x = m p : m q = p : q {displaystyle y:x=mp:mq=p:q} ,那么 y : x {displaystyle y:x} 就称为可通约比(commensurable ratio), p q {displaystyle {frac {p}{q}}} 称为一个分数,其比值称为有理数;否则,如果不存在一个公测量, y : x {displaystyle y:x} 就称为不可通约比(incommensurable ratio),其比值称为无理数,亦即无法表达为分数的数。两个比例之间也可以互相比较。如果两个比例相等,亦即,它们的比值相同,这个相等关系称为一个等比关系,例如, y : x = u : o {displaystyle y:x=u:o} 是一个等比关系,其中 x u = y o {displaystyle xu=yo} 。特别是,如果第二项等于第三项,例如 y : x = x : z {displaystyle y:x=x:z} ,那么 x 2 = y z → x = y z {displaystyle x^{2}=yzrightarrow x={sqrt {yz}}} , x {displaystyle x} 称为 y {displaystyle y} 与 z {displaystyle z} 的几何平均数(geometric mean)。若存在一非零常数 k {displaystyle k} 使则称变量 y {displaystyle y} 与变量 x {displaystyle x} 成比例(有时也称为成正比)。当 x {displaystyle x} 和 y {displaystyle y} 成正比关系,表示当 x {displaystyle x} 变为原来 k {displaystyle k} 倍时, y {displaystyle y} 也会变为原来的 k {displaystyle k} 倍。该关系通常用 ∝ {displaystyle propto } (U+221D)表示为:并称该常数比率为比例常数或比例关系中的比例恒量。在日常生活中,正比这个词的使用并不严格局限于线性函数,一般来说,一个变量随着另一个变量的增大/缩小而相应地增大/缩小,近似地满足线性关系的时候,我们可以说这两个变量成正比。现代数学对于比例的用法并没有严格限制,例如,在一个班级里面,我们可以说:“男孩与女孩的比例是2比1”。然而,在古希腊数学中,由于比例是用来表示倍数关系,所以必须是相同种类的数量才能构成比例,例如,欧几里得在《几何原本》第五册中如此定义比例: .mw-parser-output .templatequote{margin-top:0;overflow:hidden}.mw-parser-output .templatequote .templatequotecite{line-height:1em;text-align:left;padding-left:2em;margin-top:0}.mw-parser-output .templatequote .templatequotecite cite{font-size:small}λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις.A ratio is a sort of relation in respect of size between two magnitudes of the same kind.比例是两个同类数量之间的大小关系。阿基米德使用这个定义来叙述均匀运动(uniform motion)的等比关系:在一个均匀运动中,两段距离的比例相等于它们所需时间的比例。阿基米德所要描述的,就是匀速运动,但是古希腊数学并不接受距离与时间的比例(亦即速率),因为它们是不一样的数量,所以他没有办法直接说:“均匀运动就是每一点上的速率皆相等”。当采用古希腊的比例论来叙述时,必须取两段距离 L 1 {displaystyle L_{1}} 与 L 2 {displaystyle L_{2}} 以及所需时间 T 1 {displaystyle T_{1}} 与 T 2 {displaystyle T_{2}} ,均匀运动(匀速运动)就是 L 1 : L 2 = T 1 : T 2 {displaystyle L_{1}:L_{2}=T_{1}:T_{2}} 。因为等价于因此可推出,若 y {displaystyle y} 与 x {displaystyle x} 之间存在正比关系,则 x {displaystyle x} 与 y {displaystyle y} 之间存在正比关系。y {displaystyle y} 与 x {displaystyle x} 的正比关系也可以被解读为一条在二维直角坐标系穿过原点的直线,其斜率为比例常数。比例关系中,位于两端的两数之积等于位于中间的两数之积:在上面定义中,我们说有时称两个成比例的变量成正比例,这是为了和反比例关系相对应。如果两变量中,一个变量和另外一个变量的倒数成正比,或等价地,若这两变量的乘积是一个常数,则称这两个变量是成反比例(或相反地变化)的。从而可继续推出,若存在一非零常数 k {displaystyle k} 使则变量 y {displaystyle y} 和变量 x {displaystyle x} 成反比。反比例关系的概念基本上说明的是这样一种关系,即当一个变量的值变大时,另一变量的值相应变小,而两者之积总是保持为一常数(即比例常数)。举例来说,运动中的车辆走完一段路程所花费的时间是和这辆车运动的速度成反比的;在地上挖个坑所花的时间也(大致地)和雇来挖坑的人数成反比的。在笛卡尔坐标平面上,两个具有反比例关系的变量的图形是一对双曲线。该图线上的每一点的 X 和 Y 坐标值之积总是等于比例常数 k {displaystyle k} 。由于 k {displaystyle k} 非零,所以图线不会与坐标轴相交若变量 y {displaystyle y} 与变量 x {displaystyle x} 的指数函数成正比,即:若存在非零常数 k {displaystyle k} 使则称 y {displaystyle y} 与 x {displaystyle x} 成指数比例。类似地,若变量 y {displaystyle y} 与变量 x {displaystyle x} 的对数函数成正比,即:若存在非零常数 k {displaystyle k} 使则称 y {displaystyle y} 与 x {displaystyle x} 成对数比例。用实验方法确定两个物理量是否具有正比关系,可采用这样的办法,即进行多次测量并在笛卡尔坐标系中将这些测量结果用多个点来表示,而绘制出这些点的分布图形;如果所有点完全(或接近)地落在一条穿过原点 ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0)} 的直线上,则这两个变量(很有可能)具有比例常数等于该直线斜率的正比关系。

相关

  • 氢离子泵阻断剂质子泵抑制剂(英语:Proton-pump inhibitor、缩写为PPI)或称氢离子帮浦阻断剂,是一种抑制氢离子泵的药物,这种药物对于减少胃酸分泌的作用是显著也长效的,可以说是现今减少胃酸分泌
  • 背是指人体躯干的后方部分,从臀部上方一直延伸到肩膀以及脖子。它的高度由脊椎决定,而宽度则取决于肋骨及肩胛骨。脊椎贯穿其中,以让神经能够传导至下半身。人体背部中央最明显
  • 白俄罗斯欧洲(深灰色)  —白俄罗斯共和国(白俄罗斯语:Беларусь,转写:Biełaruś;IPA:.mw-parser-output .IPA{font-family:"Charis SIL","Doulos SIL","Linux Libertine","Segoe UI
  • 体适能体适能(英语:Physical Fitness),为身体适应外界环境之能力,可视为身体适应生活、运动与环境 (例如,温度、气候变化或病毒等因素)的综合能力。它包含了两个面向,一般素质(身体健康的状
  • 图瓦卢面积以下资讯是以2018年估计国家领袖国内生产总值(购买力平价) 以下资讯是以2016年估计国内生产总值(国际汇率) 以下资讯是以2016年估计立国历史图瓦卢(英语:Tuvalu)是一个由九个环
  • 性伦理性伦理(英语:Sexual ethics)又称为性道德,或作性伦理学,是研究“人类性行为”或人类与性相关之“行为表达”的伦理学分支。性伦理试图从社会、文化和哲学的角度来理解或评估人际
  • 低平火山口低平火山口(德语:Maar)是由岩浆和水相互作用发生爆炸而形成。在地表下形成了深切到围岩的圆形火山口,并被一个低矮的碎屑环包围。常常会积水而形成火山湖。其语源为拉丁文的mare
  • 哥伦比亚号航天飞机哥伦比亚号航天飞机(STS Columbia OV-102)是美国国家航空航天局(NASA)所属的航天飞机之一。哥伦比亚号是美国的航天飞机机队中第一架正式服役的,它在1981年4月12日首次执行代号ST
  • HappyCash远鑫电子票证,是台湾的电子票证发行商之一,于2014年6月27日获行政院金融监督管理委员会核准成立。其发行的票证为有钱卡,并结合同集团鼎鼎联合行销的HAPPY GO集点卡。核心业务
  • glomerular filtration rate肾功能(Renal function)是描述肾脏状态及其在肾生理作用的角色。肾小球滤过率(Glomerular filtration rate/GFR、肾丝球滤过率)描述了通过肾脏过滤流体之流速。肌酸酐清除率(Crea