铅直丛

✍ dations ◷ 2025-12-08 12:38:08 #微分几何,纤维丛,联络

在数学微分几何领域，一个光滑纤维丛的铅直丛（vertical bundle）是切丛的一个子丛，由所有和纤维相切的向量组成。更具体地，如果 :→ 是一个光滑流形上一个光滑纤维丛，设 ∈ 满足 ()= ∈ ，则在处的铅直空间（vertical space） V 是纤维包含的切空间 T()。这就是， V = T(E₍₎)。从而铅直空间是 T 的一个子空间，所有铅直空间的并是 T 的一个子丛 V，这便是的铅直丛。

铅直丛是微分 d:T→-1T 的核，这里 π-1T 是拉回丛；用符号表示，V_e=ker(dπ_e)。因为 dπ_e 在每一点是满射，它得出了商丛 T/V 与拉回 -1T 的一个典范等价。

上一个埃雷斯曼联络是选取 V 在 T 中的一个补子丛，称为这个联络的水平丛（horizontal bundle）。

光滑纤维丛一个简单的例子是两个流形的笛卡儿积。考虑丛 ₁ := ( × , pr₁) 带有丛投影 pr₁ : × → : (, ) → 。则铅直丛便是 V₁ = × T，这是 T(×) 的一个子丛。如果我们取另一个投影 pr₂ : × → : (, ) → 来定义纤维丛 ₂ := ( × , pr₂) 则铅直丛将为 V₂ = T × 。

在这两种情形，乘积结构给出了水平丛的自然选取，导致一个埃雷斯曼联络：₁ 的水平丛是 ₂ 的铅直丛，反之亦然。

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