伯努利数

数学上，伯努利数 是一个与数论有密切关联的有理数序列。前几项被发现的伯努利数分别为：

上标 ± 在本文中用来区别两种不同的伯努利数定义，而这两种定义只有在 = 1 时有所不同：

由于对于所有大于1的奇数 伯努利数 = 0 ，且许多公式中仅使用偶数项的伯努利数，一些作者可能会用""来代表 ₂，不过在本文中不会使用如此的简写。

伯努利数是等幂求和的解析解中最为明显的特征，定义等幂和如下，其中, ≥ 0：

这数列和的公式必定是变量为，次数为 +1次的多项式，称为伯努利多项式。伯努利多项式的系数与伯努利数有密切关系如下：

其中( + 1
) 为二项式系数。

举例说，把取为1，我们有${\displaystyle 1+2+...+n=\frac{1}{2}\left(B_0{n}^2+2B_1^{+}{n}^1\right)=\frac{1}{2}\left(n^2+n\right).}$₀ = 1。

伯努利数也可以用母函数技巧定义。它们的指数母函数是/（ − 1），使得对所有绝对值小于2π的（幂指数的收敛半径），有

有时会写成小写，以便与贝尔数分别开。

最初21项伯努利数记于OEIS中的数列A027641和A027642。

可以证明对所有不是1的奇数有 = 0。

数列中乍看起来突兀的₁₂ = −691/2730，喻示伯努利数不能以初等方式描述；其实它们是黎曼ζ函数于负整数的值，有深邃的数论性质联系，所以不能预期有简单的计算公式。

伯努利数出现在正切和双曲正切函数的泰勒级数展开式、欧拉-麦克劳林公式，及黎曼ζ函数的一些值的表达式。

在1842年的爱达·勒芙蕾丝的分析机笔记的笔记G，第一次记述了一个让电脑产生伯努利数的演算式。

欧拉以黎曼ζ函数表达伯努利数为：

在区间上的连续均匀概率分布的阶累积量是/。

伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为 = − ζ（1 − ），也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此，可推测它们有深刻的算术性质，事实也的确如此，这是库默尔（Kummer）研究费马大定理时发现的。

伯努利数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理（Herbrand-Ribet）描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）给出。伯努利数还和代数K理论有关：若是/2的分子，那样${\displaystyle K_{4n-<!--\; -\; -->2}(\mathbb{Z})}$₂若为偶数；2₂若为奇数。

与整除性也有关连的是冯·施陶特-克劳森定理（von Staudt-Clausen）。这定理是说，凡是适合 − 1整除的素数，把1/加到上，我们会得到一个整数。这个事实给出了非零伯努利数的分母的特征：这些分母是适合 − 1整除的所有素数的乘积；故此它们都无平方因子，也都可以被6整除。

吾乡-朱加猜想猜测是素数当且仅当₋₁模同余于−1。

伯努利数的一个特别重要的同余性质，可以表述为进连续性。若，和是正整数，使得和不能被 − 1整除，及${\displaystyle m\equiv <!--\; \equiv \; -->nmod{p}^{b-<!--\; -\; -->1}(p-<!--\; -\; -->1)}$ = 1 − 和 = 1 − ，使得和非正，及不是模 − 1同余于1。这告诉我们，黎曼ζ函数的欧拉乘积公式中去掉${\displaystyle 1-<!--\; -\; -->p^z}$ − 1同余于某个${\displaystyle a\not\equiv 1modp-<!--\; -\; -->1}$进数连续，因此可以延伸到所有进整数${\displaystyle {\mathbb{Z}}_p}$进ζ函数。

在${\displaystyle n\ge <!--\; \ge \; -->2}$−1）球，对于它们的微分同胚类的循环群的阶，有凯尔韦尔-米尔诺公式（Kervaire-Milnor），用到了伯努利数。若是₄/的分子，那么这种怪球的数目是${\displaystyle 2^{2n-<!--\; -\; -->2}(1-<!--\; -\; -->2^{2n-<!--\; -\; -->1})B}$。（拓扑学文章中的公式与这里不同，因为拓扑学家为伯努利数编号的习惯不同。本文跟随数论家的编号习惯。）