组合

在组合数学，一个集的元素的组合（英语：Combination）是一个子集。S的一个k-组合是S的一个有k个元素的子集。若两个子集的元素完全相同并顺序相异，它仍视为同一个组合，这是组合和排列不同之处。从 n {displaystyle n} 个元素中取出 k {displaystyle k} 个元素， k {displaystyle k} 个元素的组合数量为：以六合彩为例。在六合彩中从49颗球中取出6颗球的组合数量为：从 n {displaystyle n} 个元素中取出 k {displaystyle k} 个元素， k {displaystyle k} 个元素可以重复出现，这组合数量为：以取色球为例，每种颜色的球有无限多颗，从8种色球中取出5颗球，好比是在5颗球间画上分隔号“|”代表球色的分布情形。例如第1种色球取1颗，第2种色球取2颗，第3种色球取2颗可以表示成：可以理解为8类球每类取多少个，一起构成5个球。我们把5个球排成一排，用7个分隔线去隔开。如上图，表示含义：第1根线前表示第一类球取的个数，第1根和第2根线表示第二类球取的个数...第6第7根线前表示第七类球的个数，第7根后表示第八类球的个数。亦即问题是从(5+8-1)个位置中挑选出(8-1)个位置摆分隔号，这组合数量为：因为组合数量公式特性，重复组合转换成组合有另一种公式为：另外 H k n {displaystyle H_{k}^{n}} 也可以记为 F k n {displaystyle F_{k}^{n}} 或 ( ( n k ) ) {displaystyle left(!!{binom {n}{k}}!!right)}在 C k n {displaystyle C_{k}^{n}} 的定义中，由于它有意义的范围必须是满足条件 n ≥ k ≥ 1 {displaystyle ngeq kgeq 1} ，所以其他范围必须另外定义，我们有:组合数可以推广到多分类的情形 ，我们将n个物品分为m份，每份的个数分别为: k 1 , k 2 ⋯ k m {displaystyle k_{1},k_{2}cdots k_{m}} 个，那么，总的分类数为