庞加莱圆盘模型

✍ dations ◷ 2025-10-16 17:52:50 #共形几何,双曲几何

几何中,庞加莱圆盘模型(Poincaré disk model),也叫共形圆盘模型(conformal disk model),是一个 -维双曲几何模型。几何中的点对应到 维圆盘(或球)上的点,几何中的“直线”(准确地说是测地线)对应到任意垂直于圆盘边界的圆弧或是圆盘的直径。庞加莱圆盘模型、克莱因模型以及庞加莱半空间模型,一起被贝尔特拉米用来证明双曲几何与欧几里得几何的相容性等价。

如果 和 是赋以通常欧几里得范数的 维向量空间 R 中两个向量,两者范数都小于 1,则我们可以定义一个等距不变量为:

这里 ||*|| 表示通常的欧几里得范数。那么距离函数是

这样的距离函数对任何两个范数小于 1 的向量有定义,将这样的向量集合变为一个度量空间,这是一个具有常曲率 -1 的双曲空间模型。这个模型具有共形性质,双曲空间中两条曲线相交的角度与在这个模型中的欧几里得角度相同。

庞加莱圆盘模型的度量形式是:

庞加莱圆盘模型,和克莱因模型一样,都与双曲面模型射影相关。如果我们有双曲面模型中双曲面的上叶中一点 ,这样就定义了双曲面模型中一点,我们可以通过与 连接一条直线将其投影到超曲面  = 0 上,所得是庞加莱圆盘模型中的对应点。

解析几何中一个基本构造是寻找过两个定点的一条直线。在庞加莱圆盘模型中,平面上的直线定义为具有如下性质的圆周之一部分

这是垂直于单位圆周的圆周的一般形式,或就是直径,可以证明这是连接这两点(双曲)距离最短的曲线,即测地线。给定圆盘中不在同一直径上两点 和 ,我们可以求出过这两点的圆周,得到

如果点 和 在圆盘的边界上但不是直径的端点,上面的公式简化成

我们可用一个公式计算出端点(理想点)为单位向量 与 以及端点为 与 的两条圆弧相交的角度。因为理想点在克莱因模型和庞加莱圆盘模型是一样的,两个模型中的公式是一样的。

如果两条直线都是直径,那么 = − 和 = −,则我们只要找出这两个单位向量的角度,角度 θ 的公式为

如果 = - 但 ≠ -,用楔积表示,公式变为

这里

如果两条弦都不是直径,得到一般的公式

这里

利用比内-柯西恒等式(Binet–Cauchy identity)以及这些向量都是单位向量的事实,我们可只使用点积将上面的表达式写成

毛瑞特斯·柯奈利斯·艾雪的画作圆极限IV、圆极限III是庞加莱圆盘的一个艺术形象化。

相关

  • 水泡状胎块葡萄胎也称水泡状胎、水泡状胎块(Hydatidiform Mole) 是一种异常的人类妊娠,系由着床但未成功发育的受精卵所造成。因其特征为胎盘绒毛间质水肿,形成透明或半透明的薄壁水泡,形似
  • 拉格朗日量在分析力学里,一个动力系统的拉格朗日量(英语:Lagrangian),又称拉格朗日函数,简称“拉氏量”,是描述整个物理系统的动力状态的函数,对于一般经典物理系统,通常定义为动能减去势能,以方
  • 十亿<< 100‍ 101‍ 102‍ 103‍ 104‍ 105‍ 106‍ 107‍ 108‍ 109‍ >> 100000000 1000000000 100000000001000000000(十亿)是大于999,999,999但小于1,000,000,001的自然数。
  • 孟买南区孟买南区,印度孟买最南面的部分,包括孟买市中心和邻近的商业区。这是全印度最富裕的城市区域,拥有该市的大部分精英分子。在地理上,孟买南区位于撒尔塞特岛南面的顶点。尽管孟买
  • 克劳斯-玛菲克劳斯-玛菲(德语:Krauss-Maffei)是德国一家机械工程企业,总部设于慕尼黑。克劳斯-玛菲是全球领先的塑料及天然橡胶机械设备企业,并在该领域拥有全球唯一的机械技术:注塑和反应发
  • 云南布政司云南政权云南等处承宣布政使司,简称云南布政司,是明朝在云南地区的一级行政区名,下辖22府5直隶州30县。布政使司衙门驻云南府。
  • 云加鸟云加鸟(学名Yungavolucris)是一属反鸟亚纲鸟类。其下只有Y. brevipedalis一个物种,生存于白垩纪晚期马斯特里赫特阶。其化石是在阿根廷发现。由于云加鸟的遗骸只发现了6个跗跖
  • 丽水机场丽水机场(朝鲜语:여수공항/麗水空港 Yeosu Gonghang,IATA代码:RSU;ICAO代码:RKJY)是大韩民国丽水市其中一座对外航空机场。位处丽水市与顺天市中间,也因此亦有人唤作顺天机场,而其正
  • 火药阴谋火药阴谋(英语:Gunpowder Plot)发生于1605年,是一群英格兰天主教极端分子试图炸掉英国国会大厦,并杀害正在参加国会开幕典礼的英国国王詹姆士一世的失败的暗杀行动。这次事件是16
  • 北朝鲜临时人民委员会苏联红军票、朝鲜银行券 (1945年-1947年)君主 · 首都 · 文学史 · 教育史电影史 · 韩医史陶瓷史 · 戏剧史韩国国宝 · 朝鲜国宝北朝鲜临时人民委员会(韩语:북조선임