辛矩阵

在数学中，辛矩阵是指一个${\displaystyle 2n\times <!--\; \times \; -->2n}$的矩阵M（通常布于实数或复数域上），使之满足

其中${\displaystyle M^T}$表${\displaystyle M}$的转置矩阵，而${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$是一个固定的可逆斜对称矩阵；这类矩阵在适当的变化后皆能表为

或

两者的差异仅在于基的排列，其中${\displaystyle I_n}$是${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->n}$ 单位矩阵。此外，${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$ 行列式值等于一，且其逆矩阵等于${\displaystyle -<!--\; -\; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$。

凡辛矩阵皆可逆，其逆矩阵可表为

因此，辛矩阵具有如下运算性质：

此外，辛矩阵构成的集合在矩阵乘法下封闭，因此一个域${\displaystyle F}$上的所有${\displaystyle 2n}$阶辛矩阵构成一个群，记为${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(2n,F)}$。事实上它是${\displaystyle \mathrm{G}\mathrm{L}(2n,F)}$的闭代数子群，其维度为${\displaystyle n(2n+1)}$。当${\displaystyle F=\mathbb{R},\mathbb{C}}$时，${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(2n,F)}$带有自然的（复）李群结构。

由定义可知辛矩阵的行列式等于${\displaystyle \pm <!--\; \pm \; -->1}$；事实上，可以利用普法夫值的公式：

由于${\displaystyle M^T\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}M=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$、${\displaystyle \text{Pf}(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})\ne <!--\; \ne \; -->0}$，遂导出${\displaystyle det(M)=1}$。

当${\displaystyle n=1}$时，有${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(2)=\mathrm{S}\mathrm{L}(2)}$。换言之：二阶扭对称矩阵即行列式等于一的二阶矩阵。

在线性代数的抽象框架里，我们可以用偶数维向量空间${\displaystyle V}$上的线性变换取代偶数阶矩阵，并固定一个非退化反对称双线性形${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}:V\times <!--\; \times \; -->V\to <!--\; \to \; -->F}$以取代矩阵${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$（赋有这类双线性形的空间称为扭对称向量空间），如此便得到与基底无关的定义：

考虑${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}:={\wedge <!--\; \wedge \; -->}^{\frac{\dim <!--\; \; -->V}{2}}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$，由于${\displaystyle L^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$，故${\displaystyle L^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})=\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$；另一方面，${\displaystyle L^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})=(detL)\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$，于是得到${\displaystyle detL=1}$。由此导出扭对称变换之行列式值等于一。

固定${\displaystyle V}$的一组基，借此将${\displaystyle L}$写成矩阵${\displaystyle M}$，并将${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$表成斜对称矩阵${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$，便回到先前的定义：