三角不等式

三角不等式是数学上的一个不等式，表示从A到B再到C的距离永不少于从A到C的距离；亦可以说是两项独立物件的量之和不少于其和的量。它除了适用于三角形之外，还适用于其他数学范畴及日常生活中。

在三角形ABC中，这个式子用标量可以写作${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}\ge <!--\; \ge \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}}$。

当该式取不等号时，可以由欧几里得第五公设导出；欧几里得给出的证明记载于《几何原本》第一卷命题20：（证明所用的辅助图像见右）

现在，我们有三角形ABC。延长${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}}$至点D，并使${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BD}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}}$，联结${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DC}}$。

那么，三角形BCD为等腰三角形，所以${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BDC=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BCD}$。记它们均为${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$。

根据欧几里得第五公设，角${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$也就是${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ACD}$大于角${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$（${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BCD}$，也就是${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BDC}$）；

由于角${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$对应边${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AD}}$，角${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$对应边${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}}$，因此${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AD}>\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}}$（大角对大边，命题19）。

又由于${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DB}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}}$，所以${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AD}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BD}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}>\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}}$，即证。

如果我们将该式左右各减去${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}}$，便能得到${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}>\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}}$，这便是三角不等式的另一种表达方法：三角形的两边之差小于第三边。

当该式取等号的时候，其已经不属于欧氏几何的范畴，这种情况只有可能在球面三角形中出现，此时${\displaystyle \left|a-<!--\; -\; -->b\right|\le <!--\; \le \; -->c\le <!--\; \le \; -->a+b}$，而a, b, c为三角形三边的长。

用向量的写法，这个不等式可以写成：

上式和标量的写法明显是等价的。

考虑到${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}}$，该式也可以写成：${\displaystyle \left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|\le <!--\; \le \; -->\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\right|+\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|}$，这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。

如果根据向量构建平面直角坐标系，则可以用代数的方式予以证明。

还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中，向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}}$的方向向量为${\displaystyle (x_1,y_1)}$，向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}}$的方向向量为${\displaystyle (x_2,y_2)}$，

那么因为${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}}$，得向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}}$的方向向量为${\displaystyle (x_1+x_2,y_1+y_2)}$。

因此，${\displaystyle \left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\right|+\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$，${\displaystyle \left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\right|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2+(y_1+y_2{)}^2}}$。

所以，${\displaystyle \left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\right|+\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|-<!--\; -\; -->\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\right|=2\sqrt{x_1^2{x}_2^2+x_1^2{y}_2^2+x_2^2{y}_1^2+y_1^2{y}_2^2}-<!--\; -\; -->2x_1{x}_2-<!--\; -\; -->2y_1{y}_2}$。

而${\displaystyle (2\sqrt{x_1^2{x}_2^2+x_1^2{y}_2^2+x_2^2{y}_1^2+y_1^2{y}_2^2}{)}^2=4x_1^2{x}_2^2+4x_1^2{y}_2^2+4x_2^2{y}_1^2+4y_1^2{y}_2^2}$，${\displaystyle (2x_1{x}_2+2y_1{y}_2{)}^2=4x_1^2{x}_2^2+8x_1{x}_2{y}_1{y}_2+4y_1^2{y}_2^2}$，

两者相减再配方，得到${\displaystyle (2x_1{y}_2-<!--\; -\; -->2x_2{y}_1{)}^2}$，该式实际上是${\displaystyle (\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\right|+\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|{)}^2-<!--\; -\; -->(\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\right|{)}^2}$的值。

当且仅当${\displaystyle x_1{y}_2=x_2{y}_1}$时，该式的值为0，而此时我们可以推出${\displaystyle x_1=k{x}_2,y_1=k{y}_2,k\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->}}$，这说明${\displaystyle x_1}$和${\displaystyle x_2}$、${\displaystyle y_1}$和${\displaystyle y_2}$都是平行的。而由于${\displaystyle x_1}$，也就是向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}}$的终点和${\displaystyle x_2}$，也就是向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}}$的起点是相同的，显然${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}}$和${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}}$共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的，只有在非欧几何的情况下才能成立。用${\displaystyle y_1}$和${\displaystyle y_2}$平行也一样能够推出$ A B 相关穆罕默德·摩萨台穆罕默德·摩萨台（波斯语：محمد مصدق‎；拉丁化：Mohammad Mosaddegh），1882年6月16日－1967年3月5日），1951年至1953年间出任民选的伊朗首相，但在1953年被美国中央情报局策动的政变异柠檬酸异柠檬酸（英语：Isocitric acid）是质子化了的异柠檬酸盐，是三羧酸循环中的一个酶作用物。异柠檬酸是在乌头酸酶的酶促反应下由柠檬酸生成的，在异柠檬酸脱氢酶的作用下形成草酰琥珀亚历珊卓皇后鸟翼蝶亚历珊卓皇后鸟翼蝶（学名：），又名亚历山大鸟翼蝶或亚历山大凤蝶，是世界上最大的蝴蝶。它们是由罗斯柴尔德（Walter Rothschild）于1907年所命名，是为纪念英王爱德华七世的妻子亚历珊卓艾拉，战争下的女儿《艾拉，战争下的女儿》（土耳其语：Ayla）是2017年由Can Ulkay（土耳其语：Can Ulkay）执导的土耳其戏剧电影，并代表土耳其角逐奥斯卡最佳外语片奖，但最终并未获得提名。韩战时，一名快被冻死菲娜尔希菲娜尔希（印尼语：Finarsih，1972年2月8日－），印尼前女子羽毛球运动员，专攻女子双打。菲娜尔希在1990年代赢得了许多重要的国际冠军，大部分都是与莉莉·谭皮搭档女子双打。其中包括荷兰王靖超王 靖超（ワン ジンチャオ、1988年7月13日 - ）、是一位中国出生的棒球选手，曾经效力过日本中央联盟横滨湾星队育成选手，2011年回归原来球队中国天津雄狮队,。王靖超是中国棒球联谢尔盖·根纳季耶维奇·涅恰耶夫谢尔盖·根纳季耶维奇·涅恰耶夫（俄语：Серге́й Генна́диевич Неча́ев 1847年10月2日－1882年11月21日或12月3日）是一名俄国革命家，他常被与俄国的否权万州 (琼州府)万州是明代的一个州，元代为万安军，属海北海南道。洪武元年十月改为万州，属琼州府。正统四年六月以州治万安县省入。领县一。陵水县。清代仍属琼州府，光绪三十一年降为万县，属崖州菅野洋子菅野洋子（日语：菅野 よう子／かんの ようこ ，1963年3月18日－），是日本宫城县仙台市出身的作曲家、编曲家、音乐制作人。前夫为大提琴演奏家沟口肇。生于日本宫城县仙台市，父亲是大学福岛千里福岛千里（日语：福島 千里／ふくしま ちさと ，1988年6月27日－），出生于北海道中川郡幕别町，日本田径运动员，专项为100m及200m。她也是在这两个项目上的日本全国记录保持者。福岛千里代 X7DCMS 鲁ICP备15002942号 新起点 今日百科 新贝范文 星座占卜 蜜桃圈 $