三角不等式

三角不等式是数学上的一个不等式，表示从A到B再到C的距离永不少于从A到C的距离；亦可以说是两项独立物件的量之和不少于其和的量。它除了适用于三角形之外，还适用于其他数学范畴及日常生活中。

在三角形ABC中，这个式子用标量可以写作${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}\ge <!--\; \ge \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}}$。

当该式取不等号时，可以由欧几里得第五公设导出；欧几里得给出的证明记载于《几何原本》第一卷命题20：（证明所用的辅助图像见右）

现在，我们有三角形ABC。延长${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}}$至点D，并使${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BD}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}}$，联结${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DC}}$。

那么，三角形BCD为等腰三角形，所以${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BDC=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BCD}$。记它们均为${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$。

根据欧几里得第五公设，角${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$也就是${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ACD}$大于角${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$（${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BCD}$，也就是${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BDC}$）；

由于角${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$对应边${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AD}}$，角${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$对应边${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}}$，因此${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AD}>\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}}$（大角对大边，命题19）。

又由于${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DB}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}}$，所以${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AD}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BD}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}>\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}}$，即证。

如果我们将该式左右各减去${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}}$，便能得到${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}>\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}}$，这便是三角不等式的另一种表达方法：三角形的两边之差小于第三边。

当该式取等号的时候，其已经不属于欧氏几何的范畴，这种情况只有可能在球面三角形中出现，此时${\displaystyle \left|a-<!--\; -\; -->b\right|\le <!--\; \le \; -->c\le <!--\; \le \; -->a+b}$，而a, b, c为三角形三边的长。

用向量的写法，这个不等式可以写成：

上式和标量的写法明显是等价的。

考虑到${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}}$，该式也可以写成：${\displaystyle \left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|\le <!--\; \le \; -->\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\right|+\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|}$，这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。

如果根据向量构建平面直角坐标系，则可以用代数的方式予以证明。

还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中，向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}}$的方向向量为${\displaystyle (x_1,y_1)}$，向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}}$的方向向量为${\displaystyle (x_2,y_2)}$，

那么因为${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}}$，得向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}}$的方向向量为${\displaystyle (x_1+x_2,y_1+y_2)}$。

因此，${\displaystyle \left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\right|+\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$，${\displaystyle \left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\right|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2+(y_1+y_2{)}^2}}$。

所以，${\displaystyle \left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\right|+\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|-<!--\; -\; -->\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\right|=2\sqrt{x_1^2{x}_2^2+x_1^2{y}_2^2+x_2^2{y}_1^2+y_1^2{y}_2^2}-<!--\; -\; -->2x_1{x}_2-<!--\; -\; -->2y_1{y}_2}$。

而${\displaystyle (2\sqrt{x_1^2{x}_2^2+x_1^2{y}_2^2+x_2^2{y}_1^2+y_1^2{y}_2^2}{)}^2=4x_1^2{x}_2^2+4x_1^2{y}_2^2+4x_2^2{y}_1^2+4y_1^2{y}_2^2}$，${\displaystyle (2x_1{x}_2+2y_1{y}_2{)}^2=4x_1^2{x}_2^2+8x_1{x}_2{y}_1{y}_2+4y_1^2{y}_2^2}$，

两者相减再配方，得到${\displaystyle (2x_1{y}_2-<!--\; -\; -->2x_2{y}_1{)}^2}$，该式实际上是${\displaystyle (\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\right|+\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|{)}^2-<!--\; -\; -->(\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\right|{)}^2}$的值。

当且仅当${\displaystyle x_1{y}_2=x_2{y}_1}$时，该式的值为0，而此时我们可以推出${\displaystyle x_1=k{x}_2,y_1=k{y}_2,k\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->}}$，这说明${\displaystyle x_1}$和${\displaystyle x_2}$、${\displaystyle y_1}$和${\displaystyle y_2}$都是平行的。而由于${\displaystyle x_1}$，也就是向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}}$的终点和${\displaystyle x_2}$，也就是向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}}$的起点是相同的，显然${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}}$和${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}}$共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的，只有在非欧几何的情况下才能成立。用${\displaystyle y_1}$和${\displaystyle y_2}$平行也一样能够推出$ A B 相关孢子体孢子体（sporophyte，/spɔːroʊˌfaɪt/）是陆生植物与多细胞藻类世代交替过程中的多细胞二倍体阶段。起始于两个单倍体的配子融合（受精）形成单细胞的二倍体的合子。合子再经过有曼城曼城可能指：理查德·勒纳理查德·A·勒纳（英语：Richard Alan Lerner，1938年8月26日－），美国化学家，主要以催化抗体方面的研究知名。他曾任斯克里普斯研究所主席，现在是加利福尼亚州拉霍亚斯卡格斯（Skaggs）化学特立尼达和多巴哥2019冠状病毒病特立尼达和多巴哥疫情，介绍在2019新型冠状病毒疫情中，在特立尼达和多巴哥发生的情况。2020年3月12日，特立尼达和多巴哥政府宣布该国确诊首例新冠肺炎病例，患者9日防烟门防烟门，又称防火门，是用来维持走火通道的耐火完整性及提供逃生途径的门。其目的是要确保在一段合理时间内（通常是逃生时间），保护走火通道内正在逃生的人免受火灾的威胁，包括阻隔浓汤姆·赫宁·奥弗雷勃汤姆·赫宁·奥弗雷勃（挪威语：Tom Henning Øvrebø，1966年6月26日－）是一名挪威籍足球球证，本身的职业是心理学家。1992年9月20日首次执法挪威足球超级联赛，1994年成为国际球证。从世嘉电子游戏机列表世嘉是一间电子游戏开发、发行与硬件生产公司，其总部位于日本东京都，并在全球各地设有分公司。公司自1983年起制造家用游戏机和掌上游戏机，所产主机横跨第三世代到第六世代。世傻瓜码傻瓜码是曾经流行的一种计算机汉字输入法。它是以拼音输入法为基础的，用于解决拼音输入法的易学，但盲打速度慢的问题。与其他输入法不同的是使用它不需要记编码，也不用学习拆字夏尔·杜霍克斯·德·维奥默尼夏尔·约瑟夫·亚森特·杜·霍克斯，维奥梅尼勒侯爵（Charles-Joseph-Hyacinthe du Houx, baron de Vioménil，1734年8月22日－1827年3月5日），是十七至十八世纪间法国的陆军将领及贵四川大地震 (图书)《四川大地震》是在2008年5月12日汶川大地震发生后两个月，第一本出版全方位纪录四川大地震的图书。《四川大地震》一书于2008年6月尾完成，由数十名前线记者以东方仁为笔名合作 X7DCMS 鲁ICP备15002942号 新起点 今日百科 新贝范文 星座占卜 蜜桃圈 $