超椭圆

超椭圆（superellipse）也称为拉梅曲线（Lamé curve），是在笛卡儿坐标系下满足以下方程式的点的集合：其中n、a及b为正数。上述方程式的解会是一个在−a ≤ x ≤ +a及−b ≤ y ≤ +b长方形内的封闭曲线，参数a及b称为曲线的半直径（semi-diameters）。n在0和1之间时，超椭圆的图形类似一个曲线的四角星，四边的曲线往内凹。n为1时，超椭圆的图形为一菱形，四个顶点为（±a, 0）及（0, ±b）。n在1和2之间时，超椭圆的图形类似菱形，四个顶点位置相同，但四边是往外凸的曲线，越接近顶点，曲线的曲率越大，顶点的曲率趋近无限大。n为2时，超椭圆的图形即为椭圆（若a = b时则为一个圆形）。当n大于2时，超椭圆的图形看似四角有圆角（英语：Chamfer）的长方形，曲线的曲率在（±a, 0）及（0, ±b）四点为0。n为4的超椭圆也称为方圆形。n < 2的超椭圆也称为次椭圆（hypoellipse），n > 2的超椭圆则称为过椭圆（hyperellipse）。当n ≥ 1，且a = b=1时的超椭圆是二维Lp空间下的单位圆，n即为其p-范数。超椭圆的极点为（±a, 0）及（0, ±b），而其四个“角”为（±sa, ±sb），其中 s = 2 − 1 n {displaystyle s=2^{-{frac {1}{n}}}} 。当n为一个非零的有理数p/q（最简分数形式），则超椭圆为一平面代数曲线。若n为正数，其曲线次数为pq，若n为负数，其曲线次数为2pq。若a和b均为1且n为偶数，则此超椭圆为一n次的费马曲线（英语：Fermat curve），此时超椭圆没有奇点，但一般而言超椭圆中会有有奇点。超椭圆的参数方程如下：或超椭圆内的面积可以用Γ函数Γ(x)来表示：其垂足曲线较容易计算，而以下曲线的垂足曲线可以用极坐标方式来表示：超椭圆可以延伸为以下的形式：或其中的 θ {displaystyle theta } 不是表示角度，只是方程式的一个参数。超椭圆在笛卡儿坐标系下的表示式是由1795年出生的法国数学家加布里埃尔·拉梅，由椭圆的方程式扩展而得。字体设计师赫尔曼·察普夫在1952年设计的Melior（英语：Melior）字体，利用超椭圆作为字母o的外形。三十年后高德纳设法选择了介于椭圆及超椭圆之间的曲线（两者都用样条函数近似），作为他的Computer Modern字体。1959年时瑞典斯德哥尔摩提出了其市中心赛格尔广场圆环的设计竞赛。丹麦诗人皮亚特·海恩(1905–1996)的设计以是一个n = 2.5，a/b = 6/5的超椭圆为基础。他的说明如下：赛格尔广场在1967年完成，而皮亚特·海恩继续在其他的艺术品中使用超椭圆，包括床、碟子、桌子等。皮亚特·海恩将超椭圆以长轴为轴心旋转，形成了一个立体的超级蛋（英语：superegg），其特点是可以平面上直立，不会倒下，因此变成一个特别的玩具。1968年在巴黎在为越战谈判时，谈判者不满意谈判桌的外形，Balinski、Kieron Underwood及Holt在一封寄给纽约时报的信件中建议以超椭圆作为谈判桌的外形。1968年由墨西哥城主办奥运时，也以超椭圆为阿兹特克体育场的外形。托布勒（英语：Waldo R. Tobler）在1973年提出了托布勒超椭圆投影（英语：Tobler hyperelliptical projection），其中的经线就是用超椭圆来表示。美式足球球队匹兹堡钢人的标志是三个相连的超椭圆。