同构

在抽象代数中，同构（英语：isomorphism）指的是一个保持结构的双射。在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射。

正式的表述是：同构是在数学对象之间定义的一类映射，它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射，那么这两个结构叫做是同构的。一般来说，如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的。

对数${\displaystyle \log :R^{+}\to <!--\; \to \; -->R}$

${\displaystyle \log <!--\; \; -->(xy)=\log <!--\; \; -->(x)+\log <!--\; \; -->(y)}$

指数函数

${\displaystyle \exp <!--\; \; -->(x+y)=\exp <!--\; \; -->(x)\exp <!--\; \; -->(y)}$

${\displaystyle {\mathbb{Z}}_6\cong <!--\; \cong \; -->{\mathbb{Z}}_2\times <!--\; \times \; -->{\mathbb{Z}}_3}$

因为中国剩余定理，若m, n是互素的，则

${\displaystyle {\mathbb{Z}}_{mn}\cong <!--\; \cong \; -->{\mathbb{Z}}_m\times <!--\; \times \; -->{\mathbb{Z}}_n}$

在数学中研究同构的主要目的是为了把数学理论应用于不同的领域。如果两个结构是同构的，那么其上的对象会有相似的属性和操作，对某个结构成立的命题在另一个结构上也就成立。因此，如果在某个数学领域发现了一个对象结构同构于某个结构，且对于该结构已经证明了很多定理，那么这些定理马上就可以应用到该领域。如果某些数学方法可以用于该结构，那么这些方法也可以用于新领域的结构。这就使得理解和处理该对象结构变得容易，并往往可以让数学家对该领域有更深刻的理解。