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量纲
✍ dations ◷ 2025-04-04 11:13:13 #量纲
量纲,又叫作因次(Fundamental unit),是表示一个物理量由基本量组成的情况。确定若干个基本量后,每个导出量都可以表示为基本量的幂的乘积的形式。引入量纲这一概念可以进行量纲分析,这既是物理学的基础,又有着很多重要应用。物理学中,不同的物理量有着不同的单位,然而这些单位之间都有相互的联系。实际上,恰当地规定一些基本的单位(称为基本单位),可以使任何其他的单位(称为导出单位)都表达为这些单位的乘积,将其统一以便于研究各个物理量之间的关系。如在国际单位制中,功的单位焦耳(
J
{displaystyle mathrm {J} }
),可以表示为“千克平方米每平方秒”(
k
g
⋅
m
2
/
s
2
{displaystyle mathrm {kgcdot m^{2}/s^{2}} }
)。然而,仅仅用单位来表示会面临一些问题:因此量纲被作为表达导出单位组成的专有方式引入物理学中。将一个物理导出量用若干个基本量的幂之积表示出来的表达式,称为该物理量的量纲乘积式或量纲式,亦简称量纲。规定七个基本物理量,在量纲中分别用七个字母表示它们的量纲,他们是:长度(
L
{displaystyle mathrm {L} }
),质量(
M
{displaystyle mathrm {M} }
),温度(
Θ
{displaystyle mathrm {Theta } }
),电流(
I
{displaystyle mathrm {I} }
),时间(
T
{displaystyle mathrm {T} }
),物质的量(
N
{displaystyle mathrm {N} }
),发光强度(
J
{displaystyle mathrm {J} }
)。则对于任意一个物理量
A
{displaystyle A}
,都可以写出下列量纲式:等号左边也可以表示为
[
A
]
{displaystyle left}
。上式右边称为物理量
A
{displaystyle A}
的量纲。其中,
α
β
γ
δ
ϵ
ζ
η
{displaystyle alpha ,beta ,gamma ,delta ,epsilon ,zeta ,eta }
称为量纲指数。在表示时,七个量纲不一定会全部用上。量纲指数为1的可以省略指数,指数为0的可以省略对应量纲;然而,当所有量纲指数皆为0时(称为无量纲),要将量纲记为“1”。值得注意的是,虽然物理量的量纲与取什么单位无关,但量纲却只有在一定的单位制下才有意义。量纲分析(Dimensional Analysis),又叫量纲分析,是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法。量纲分析就是在量纲法则的原则下,分析和探求物理量之间关系。量纲分析的基础是量纲法则。而在深层次运用中,几乎都还会运用到白金汉π定理,以至于有时候把量纲分析直接看作了“运用Π定理进行无量纲化的过程”。对于不同物理量之间乘、除法导出新的物理量,量纲的计算满足数学上的指数计算法则,即:相乘则对应指数相加,相除则对应指数相减。例如,根据安培力计算公式
F
=
I
L
B
{displaystyle F=ILB}
,可导出磁感应强度的量纲,有量纲服从的规律称为量纲法则,它有广泛的应用,一般只指出常用的两条:
1.只有量纲相同的物理量,才能彼此相加、相减和相等;
2.指数函数、对数函数和三角函数的宗量应当是量纲1的。
量纲法则是量纲分析的基础。若推出的公式不符合量纲法则,该式必然是错误的。π定理是由白金汉(E.Buckinghan)于1915年提出的一个定理,故又叫作白金汉定理。其内容为:设影响某现象的物理量数为
n
{displaystyle n}
个,这些物理量的基本量纲为
m
{displaystyle m}
个,则该物理现象可用
N
=
n
−
m
{displaystyle N=n-m}
个独立的无量纲数群(准数)关系式表示。用数学方式表示为:设n个物理量之间满足函数关系式:其中,
X
1
,
X
2
,
⋯
,
X
n
{displaystyle X_{1},X_{2},cdots ,X_{n}}
为物理量。共包含有m个基本量纲(m<n)。则上述关系式与下列关系式等价:其中
k
=
n
−
m
{displaystyle k=n-m}
,
Π
1
,
Π
2
,
⋯
,
Π
k
{displaystyle Pi _{1},Pi _{2},cdots ,Pi _{k}}
为无量纲量,F为未知函数关系。设在水平面上有一质量为
m
{displaystyle m}
的物体,受一水平力
F
{displaystyle F}
的作用加速滑动,加速度为
a
{displaystyle a}
,物体与水平面之间的滑动摩擦因数为
μ
{displaystyle mu }
,重力加速度大小为
g
{displaystyle g}
。则根据牛顿第二运动定律,可以写出以下关系式:式中有5个物理量,涉及到3个量纲(
L
{displaystyle mathrm {L} }
,
M
{displaystyle mathrm {M} }
,
T
{displaystyle mathrm {T} }
),根据Π定理,这个方程可以由两个无量纲量表示。比如:式中
F
m
a
{displaystyle {dfrac {F}{ma}}}
与
μ
m
g
m
a
{displaystyle {dfrac {mu mg}{ma}}}
皆为无量纲量,1为常数不加考虑。于是,原来有五个未知量的式子就被转化为只有两个未知量的了。实际应用当然会比这个复杂得多,然而原理是一样的。π定理是量纲分析中一个非常重要的定理,它与量纲法则是量纲分析的两大方法,它在建立模型和简化物理过程方面有着巨大的用途。量纲分析是物理学的基础之一,更在空气动力学和流体力学中有重要应用。如,在推导牛顿与达因之间的换算关系时,已知
dim
F
=
L
M
T
−
2
{displaystyle dim F=mathrm {LMT^{-2}} }
,又知道牛顿使用国际单位制(千克米秒制),达因使用厘米克秒制,1m=100cm,1kg=1000g,于是比如,对于安培力公式
F
=
I
L
B
{displaystyle F=ILB}
,如果不慎记成
F
=
I
v
B
{displaystyle F=IvB}
,那么在验证时有,显然是不等的,那么便可以得知公式错误;并且还可以知道是少了一个量纲
T
{displaystyle mathrm {T} }
,那么便会更有方向性地寻找错误原因。比如,对于单摆的周期,可以猜测它与单摆的质量
m
{displaystyle m}
、摆长
l
{displaystyle l}
和重力加速度
g
{displaystyle g}
,于是假设其中
λ
{displaystyle lambda }
为常数。两边取量纲,得根据量纲的一致性,解得x=0,y=0.5,z=-0.5,故只需用实验测出
λ
{displaystyle lambda }
的值就可以了。流体力学中诸如湍流、流体阻力之类的问题,理论非常复杂,有时也常采用实验的方式确定。已经看到,在量纲法则上建立的Π定理把n元关系式简化为n-m元关系式,于是在实际计算中只需要这n-m个值便可了解该物理过程了。力学涉及三个量纲(
L
{displaystyle mathrm {L} }
,
M
{displaystyle mathrm {M} }
,
T
{displaystyle mathrm {T} }
),因此通过无量纲化便减少了3个未知量,这实际上大大地简化了实验过程和理论计算。
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