量纲

量纲，又叫作因次（Fundamental unit），是表示一个物理量由基本量组成的情况。确定若干个基本量后，每个导出量都可以表示为基本量的幂的乘积的形式。引入量纲这一概念可以进行量纲分析，这既是物理学的基础，又有着很多重要应用。物理学中，不同的物理量有着不同的单位，然而这些单位之间都有相互的联系。实际上，恰当地规定一些基本的单位（称为基本单位），可以使任何其他的单位（称为导出单位）都表达为这些单位的乘积，将其统一以便于研究各个物理量之间的关系。如在国际单位制中，功的单位焦耳（ J {displaystyle mathrm {J} } ），可以表示为“千克平方米每平方秒”（ k g ⋅ m 2 / s 2 {displaystyle mathrm {kgcdot m^{2}/s^{2}} } ）。然而，仅仅用单位来表示会面临一些问题：因此量纲被作为表达导出单位组成的专有方式引入物理学中。将一个物理导出量用若干个基本量的幂之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲乘积式或量纲式，亦简称量纲。规定七个基本物理量，在量纲中分别用七个字母表示它们的量纲，他们是：长度（ L {displaystyle mathrm {L} } ），质量（ M {displaystyle mathrm {M} } ），温度（ Θ {displaystyle mathrm {Theta } } ），电流（ I {displaystyle mathrm {I} } ），时间（ T {displaystyle mathrm {T} } ），物质的量（ N {displaystyle mathrm {N} } ），发光强度（ J {displaystyle mathrm {J} } ）。则对于任意一个物理量 A {displaystyle A} ，都可以写出下列量纲式：等号左边也可以表示为 [ A ] {displaystyle left} 。上式右边称为物理量 A {displaystyle A} 的量纲。其中， α β γ δ ϵ ζ η {displaystyle alpha ,beta ,gamma ,delta ,epsilon ,zeta ,eta } 称为量纲指数。在表示时，七个量纲不一定会全部用上。量纲指数为1的可以省略指数，指数为0的可以省略对应量纲；然而，当所有量纲指数皆为0时（称为无量纲），要将量纲记为“1”。值得注意的是，虽然物理量的量纲与取什么单位无关，但量纲却只有在一定的单位制下才有意义。量纲分析（Dimensional Analysis），又叫量纲分析，是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法。量纲分析就是在量纲法则的原则下，分析和探求物理量之间关系。量纲分析的基础是量纲法则。而在深层次运用中，几乎都还会运用到白金汉π定理，以至于有时候把量纲分析直接看作了“运用Π定理进行无量纲化的过程”。对于不同物理量之间乘、除法导出新的物理量，量纲的计算满足数学上的指数计算法则，即：相乘则对应指数相加，相除则对应指数相减。例如，根据安培力计算公式 F = I L B {displaystyle F=ILB} ，可导出磁感应强度的量纲，有量纲服从的规律称为量纲法则，它有广泛的应用，一般只指出常用的两条： 1.只有量纲相同的物理量，才能彼此相加、相减和相等； 2.指数函数、对数函数和三角函数的宗量应当是量纲1的。 量纲法则是量纲分析的基础。若推出的公式不符合量纲法则，该式必然是错误的。π定理是由白金汉（E.Buckinghan）于1915年提出的一个定理，故又叫作白金汉定理。其内容为：设影响某现象的物理量数为 n {displaystyle n} 个，这些物理量的基本量纲为 m {displaystyle m} 个，则该物理现象可用 N = n − m {displaystyle N=n-m} 个独立的无量纲数群（准数）关系式表示。用数学方式表示为：设n个物理量之间满足函数关系式：其中， X 1 , X 2 , ⋯ , X n {displaystyle X_{1},X_{2},cdots ,X_{n}} 为物理量。共包含有m个基本量纲（m<n）。则上述关系式与下列关系式等价：其中 k = n − m {displaystyle k=n-m} , Π 1 , Π 2 , ⋯ , Π k {displaystyle Pi _{1},Pi _{2},cdots ,Pi _{k}} 为无量纲量，F为未知函数关系。设在水平面上有一质量为 m {displaystyle m} 的物体，受一水平力 F {displaystyle F} 的作用加速滑动，加速度为 a {displaystyle a} ，物体与水平面之间的滑动摩擦因数为 μ {displaystyle mu } ，重力加速度大小为 g {displaystyle g} 。则根据牛顿第二运动定律，可以写出以下关系式：式中有5个物理量，涉及到3个量纲（ L {displaystyle mathrm {L} } ， M {displaystyle mathrm {M} } ， T {displaystyle mathrm {T} } ），根据Π定理，这个方程可以由两个无量纲量表示。比如：式中 F m a {displaystyle {dfrac {F}{ma}}} 与 μ m g m a {displaystyle {dfrac {mu mg}{ma}}} 皆为无量纲量，1为常数不加考虑。于是，原来有五个未知量的式子就被转化为只有两个未知量的了。实际应用当然会比这个复杂得多，然而原理是一样的。π定理是量纲分析中一个非常重要的定理，它与量纲法则是量纲分析的两大方法，它在建立模型和简化物理过程方面有着巨大的用途。量纲分析是物理学的基础之一，更在空气动力学和流体力学中有重要应用。如，在推导牛顿与达因之间的换算关系时，已知 dim ⁡ F = L M T − 2 {displaystyle dim F=mathrm {LMT^{-2}} } ，又知道牛顿使用国际单位制（千克米秒制），达因使用厘米克秒制，1m=100cm，1kg=1000g,于是比如，对于安培力公式 F = I L B {displaystyle F=ILB} ，如果不慎记成 F = I v B {displaystyle F=IvB} ，那么在验证时有，显然是不等的，那么便可以得知公式错误；并且还可以知道是少了一个量纲 T {displaystyle mathrm {T} } ，那么便会更有方向性地寻找错误原因。比如，对于单摆的周期，可以猜测它与单摆的质量 m {displaystyle m} 、摆长 l {displaystyle l} 和重力加速度 g {displaystyle g} ，于是假设其中 λ {displaystyle lambda } 为常数。两边取量纲，得根据量纲的一致性，解得x=0，y=0.5，z=-0.5，故只需用实验测出 λ {displaystyle lambda } 的值就可以了。流体力学中诸如湍流、流体阻力之类的问题，理论非常复杂，有时也常采用实验的方式确定。已经看到，在量纲法则上建立的Π定理把n元关系式简化为n-m元关系式，于是在实际计算中只需要这n-m个值便可了解该物理过程了。力学涉及三个量纲（ L {displaystyle mathrm {L} } ， M {displaystyle mathrm {M} } ， T {displaystyle mathrm {T} } ），因此通过无量纲化便减少了3个未知量，这实际上大大地简化了实验过程和理论计算。