椭圆

在数学中，椭圆是平面上到两个相异固定点的距离之和为常数的点之轨迹。根据该定义，可以用手绘椭圆：先准备一条线，将这条线的两端各绑在固定的点上（这两个点就当作是椭圆的两个焦点，且距离小于线长）；取一支笔，用笔尖将线绷紧，这时候两个点和笔就形成了一个三角形（的两边）；然后左右移动笔尖拉着线开始作图，持续地使线绷紧，最后就可以完成一个椭圆的图形了。椭圆是一种圆锥曲线：如果一个平面切截一个圆锥面，且不与它的底面相交，也不与它的底面平行，则圆锥和平面交截线是个椭圆。在代数上说，椭圆是在笛卡尔平面上如下形式的方程所定义的曲线使得 B 2 < 4 A C {displaystyle B^{2}<4AC,} ，这里的系数都是实数，并存在定义在椭圆上的点对 (x, y) 的多于一个的解。穿过两焦点并终止于椭圆上的线段 AB 叫做长轴。长轴是通过连接椭圆上的两个点所能获得的最长线段。穿过中心（两焦点的连线的中点）垂直于长轴并且终止于椭圆的线段 CD 叫做短轴。半长轴（图中指示为 a）是长轴的一半：从中心通过一个焦点到椭圆的边缘的线段。类似的，半短轴（图中指示为 b）是短轴的一半。如果两个焦点重合，则这个椭圆是圆；换句话说，圆是离心率为零的椭圆。中心位于原点的椭圆 A x 2 + B x y + C y 2 = 1 {displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1,} 可以被看作单位圆在关联于对称矩阵 A ′ = [ A B / 2 B / 2 C ] = P D P T {displaystyle A^{prime }={begin{bmatrix}A&B/2\B/2&Cend{bmatrix}}=PDP^{T},} 的线性映射下的图像，这里的 D 是带有 A ′ {displaystyle A^{prime }} 的特征值的对角矩阵，二者沿着主对角线都是正实数的，而 P 是拥有 A ′ {displaystyle A^{prime }} 的特征向量作为纵列的实数的酉矩阵。椭圆的长短轴分别沿着 A ′ {displaystyle A^{prime }} 的两个特征向量的方向，而两个与之对应的特征值分别是半长轴和半短轴的长度的平方的倒数。椭圆可以通过对一个圆的所有点的 x 坐标乘以一个常数而不改变 y 坐标来生成。椭圆的形状可以用叫做椭圆的离心率的一个数来表达，习惯上指示为 ε {displaystyle varepsilon ,} 。离心率是小于 1 大于等于 0 的实数。离心率 0 表示着两个焦点重合而这个椭圆是圆。对于有半长轴 a 和半短轴 b 的椭圆，离心率是离心率越大，a 与 b 的比率就越大，因此椭圆被更加拉长。半焦距c 等于从中心到任一焦点的距离，则距离 c 叫做椭圆的线性离心率。在两个焦点间的距离是 2aε。中心位于点 ( h , k ) {displaystyle (h,k)} 的主轴平行于 x 轴的椭圆由如下方程指定这个椭圆可以参数化表达为这里的 t {displaystyle t} 可以限制于区间 − π ≤ t ≤ π {displaystyle -pi leq tleq pi ,!} 。如果 h = 0 {displaystyle h=0} 且 k = 0 {displaystyle k=0} （就是说，如果中心是原点(0,0))，则这个参数方程揭示了两个方向相互垂直的简谐运动(表现为具有周期性的简谐波)合成了闭合的椭圆形周期性运动（表现为轨迹是椭圆）。用极坐标可表达为这里的 ε {displaystyle varepsilon } 是椭圆的离心率； ψ {displaystyle psi } 是 C B ¯ {displaystyle {overline {CB}}} 与 C P ¯ {displaystyle {overline {CP}}} 的夹角有一个焦点在原点的椭圆的极坐标方程是这里的 θ {displaystyle theta } 是 F 1 B ¯ {displaystyle {overline {F_{1}B}}} 与 F 1 P ¯ {displaystyle {overline {F_{1}P}}} 的夹角椭圆的半正焦弦(通常指示为 ℓ {displaystyle ell ,!} )，是从椭圆的一个焦点到椭圆自身，沿着垂直主轴的直线测量的距离。它有关于 a {displaystyle a,!} 和 b {displaystyle b,!} （椭圆的半轴），通过公式 a ℓ = b 2 {displaystyle aell =b^{2},!} 或者如果使用离心率的话 ℓ = a ⋅ ( 1 − ε 2 ) {displaystyle ell =acdot (1-varepsilon ^{2}),!} 。在极坐标中，一个焦点在原点而另一个焦点在负 x 轴上的椭圆给出自方程椭圆可以被看作是圆的投影：在与水平面有角度 φ 的平面上的圆垂直投影到水平面上给出离心率 sin φ 的椭圆，假定 φ 不是 90°。椭圆所包围的面积是 π a b {displaystyle pi ab,} ，这里的 a {displaystyle a,} ，和 b {displaystyle b,} ， 是半长轴和半短轴。在圆的情况下 a = b {displaystyle a=b,} ，表达式简化为 π a 2 {displaystyle pi a^{2},} 。 椭圆的周长是 4 a E ( c a ) {displaystyle 4aE({frac {c}{a}})} ，这里的函数 E {displaystyle E,} 是第二类完全椭圆积分。周长为： C = 4 a ∫ 0 π 2 1 − ( c a ) 2 sin 2 ⁡ θ   d θ {displaystyle C=4aint _{0}^{frac {pi }{2}}{sqrt {1-left({frac {c}{a}}right)^{2}sin ^{2}theta }} {rm {d}}theta !} 或者 C = 4 a ∫ 0 1 1 − ( c a ) 2 t 2 1 − t 2   d t . {displaystyle C=4aint _{0}^{1}{frac {sqrt {1-left({frac {c}{a}}right)^{2}t^{2}}}{sqrt {1-t^{2}}}} {rm {d}}t.!}精确的无穷级数为：或：拉马努金给出一个更为接近的式子：它还可以写为：还有一条近似很高的公式：假设（注意所有假设只是为了导出椭圆方程时比较简便）动点为 P ( x , y ) {displaystyle P(x,y),} ，两个定点为 F 1 ( − c , 0 ) {displaystyle F_{1}(-c,0),} 和 F 2 ( c , 0 ) {displaystyle F_{2}(c,0),} ，则根据定义，动点 P {displaystyle P} 的轨迹方程满足（定义式）：用两点的距离公式可得： | P F 1 | = ( x + c ) 2 + y 2 {displaystyle |PF_{1}|={sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}},} ， | P F 2 | = ( x − c ) 2 + y 2 {displaystyle |PF_{2}|={sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}},} ，代入定义式中，得：整理上式，并化简，得：当 a > c {displaystyle a>c,} 时，并设 a 2 − c 2 = b 2 {displaystyle a^{2}-c^{2}=b^{2},} ，则①式可以进一步化简：因为 a 2 b 2 > 0 {displaystyle a^{2}b^{2}>0,} ，将②式两边同除以 a 2 b 2 {displaystyle a^{2}b^{2},} ，可得：则该方程即动点 P {displaystyle P} 的轨迹方程，即椭圆的方程。这个形式也是椭圆的标准方程。对于平面上任意椭圆 A x 2 + 2 B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,} ，我们总可以将之转化为的形式。具体步骤为，将后式的各乘积乘方项展开，根据与前式对应项系数相等的法则便可求得u,v,f的值。其中， ( u , v ) {displaystyle (u,v),} 便是该椭圆的中心（f=0）。若将带入式中便可得到平移前的椭圆。若 B ≠ 0 {displaystyle Bneq 0} ，则表示椭圆的长短轴与坐标系的坐标轴并不平行或垂直，即发生了旋转。设旋转的角度为 φ {displaystyle displaystyle varphi } ，则有若将带入式中便可得到旋转前的椭圆。有了椭圆渐开线的导数我们可以计算它的长度，其中 E ( t , a 2 − b 2 a ) {displaystyle Eleft(t,{frac {sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}right),} 是第二类完全椭圆积分。