霍奇对偶

数学中，霍奇星算子（Hodge star operator）或霍奇对偶（Hodge dual）由苏格兰数学家威廉·霍奇（英语：W. V. D. Hodge）（Hodge）引入的一个重要的线性映射。它定义在有限维定向内积空间的外代数上。

霍奇星算子在 -形式空间与 ( -)-形式空间建立了一个对应。一个 -形式在这个对于下的像称为这个 -形式的霍奇对偶。-形式空间的维数是

后一个空间的维数是

又由二项式系数的对称性，这两个维数事实上相等。两个具有相同维数的形式空间总同构；但不一定有一种自然或典范的方式。但霍奇对偶性利用了向量空间内积和定向，给出了一个特定的同构，因此在代数上这反应了二项式系数的性质。这也在 -形式空间上诱导了一个内积。“自然”定义意味着这个对偶性关系在理论中可起几何作用。

第一个有趣的情形是在三维欧几里得空间 。在这种情形，帕斯卡三角形相关行是

霍奇对偶在两个三维空间之间建立起一个同构，一个是 自己，另一个是 中两个向量的楔积。具体细节参见例子一节。叉积只是三维的特殊性质，但霍奇对偶在所有维数都有效。

由于一个向量空间上 个变量的交错线性形式空间自然同构于那个向量空间上的 -向量空间的对偶，霍奇对偶也能对这些空间定义。与线性代数的大部分构造一样，霍奇对偶可以扩张到一个向量丛。这样的霍奇对偶特别常见的是在余切丛的外代数（即流形上的微分形式）上，可用来从外导数构造余微分（codifferential），以及拉普拉斯-德拉姆算子，它导致了紧黎曼流形上微分形式的霍奇分解。

一个定向内积向量空间 上的霍奇星算子是 的外代数（${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(V)}$-向量子空间（${\displaystyle {\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^k(V)}$)-向量子空间（${\displaystyle {\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{n-<!--\; -\; -->k}(V)}$-形式与 -维完全反对称列维-奇维塔张量的指标得到。这不同于列维-奇维塔符号有一个额外因子 (det )½，这里 是一个内积（如果 不是正定的，比如洛伦兹流形的切空间，则取行列式的绝对值）。

从而有

这里 η 是任意一个反对称 阶张量。利用在定义列维-奇维塔张量中同一个内积 上升和下降指标。当然也可以对任何张量取星号，所得是反对称的，因为张量的对称分量在与完全反对称列维-奇维塔张量缩并时完全抵消了。

星算子一个常见例子是在 = 3，可以做为 3 维向量与斜对称矩阵之间的对应。这不明显地使用于向量分析中，例如由两个向量的楔积产生叉积向量。具体地说，对欧几里得空间 R3，容易发现

和

以及

这里 d、d 与 d 是 R3 上的标准正交微分1-形式。霍奇对偶在此情形显然对应于三维中的叉积。

当 = 4 时，霍奇对偶作用在第二外幂（6 维）上是自同态。它是一个对合，从而可以分解为子对偶与反自对偶子空间，在这两个子空间上的作用分别为 +1 和 -1。

另一个有用的例子是 = 4 闵可夫斯基时空，具有度量符号为 (+,-,-,-,) 与坐标 ()，对1-形式有

对2-形式有

霍奇对偶在 -向量空间上诱导了一个内积，即在 的外代数上。给定两个 -向量 ${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$ 的正交基元素的楔积组成了 的外代数的一个正交基。当霍奇星号扩张到流形上，可以证明体积形式能写做

其中 ${\displaystyle g_{ij}}$-维空间 上一个 -向量 ${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^k(V)}$ 与 上内积的符号有关。具体说， 是内积张量行列式的符号。例如，如果 = 4 时，若内积的符号是 (+,-,-，-) 或 (-,+,+,+) 则 = -1。对普通的欧几里得空间，符号总是正的，所以 = +1。在普通向量空间，这一般不是一个问题。当霍奇星号扩张到伪-黎曼流形上时，上面的内积理解为对角形式的度量。

在一个 -维定向黎曼或伪黎曼流形上每一点的切空间上可以重复如上构造，将得到 -形式的霍奇对偶，是一个 形式。霍奇星号在流形上的微分形式上诱导了一个 L2-范数。对 ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^k(M)}$-形式。）

更一般地，在非定向情形，我们可以定义 -形式的霍奇星号维一个 ()-伪微分形式；即取值于典范线丛的一个微分形式。

霍奇星号在流形上最重要的应用是用来定义余微分 δ。令

这里 是外导数。对黎曼流形 = +1 。

而

相比于外导数，余微分不是外代数上的反导子。

余微分在是外微分的伴随：

这个恒等式是因为体积形式 ω 满足 ω = 0，从而

拉普拉斯–德拉姆算子由

给出，是霍奇理论的核心。它有对称性：

以及非负：

霍奇星号将一个调和形式变成调和形式。作为霍奇定理的一个推论，德拉姆上同调自然同构于调和 -形式空间，从而霍奇星号诱导了上同调群之间一个同构

通过庞加莱对偶性，这给出了 k() 与它的对偶空间的一个典范等价。

${\displaystyle \ast <!--\; \ast \; -->}$ 算子与外导数 ${\displaystyle d}$ 的组合推广了三维经典算子 grad、curl 和 div。具体做法如下：${\displaystyle d}$ 将一个 0-形式（函数）变成 1-形式，1-形式变成 2-形式，2-形式变成 3-形式（应用到 3-形式变成零）。

1. 对一个 0-形式（${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=f(x,y,z)}$），第一种情形，写成分量与 ${\displaystyle \mathrm{grad}}$ 算子等价：

2. 第二种情形后面跟着 ${\displaystyle \ast <!--\; \ast \; -->}$，是 1-形式（${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=Adx+Bdy+Cdz}$）上一个算子，其分量是 ${\displaystyle \mathrm{curl}}$ 算子：

使用霍奇星号给出：

3. 最后一种情形，前面与后面都有一个 ${\displaystyle \ast <!--\; \ast \; -->}$，将一个 1-形式（${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=Adx+Bdy+Cdz}$）变成 0-形式（函数）；写成分量是 ${\displaystyle \mathrm{div}}$ 算子：

这些表达式的一个好处是恒等式 ${\displaystyle d^2=0}$，任何情形都成立，将

统一起来了。特别地，麦克斯韦方程组用外导数与霍奇星号表示时，有一个特别简单和优美的形式：

这里 ${\displaystyle \mathbf{F}}$ 是四维洛伦兹时空中某个 2-形式，${\displaystyle \mathbf{J}}$ 是电流 3-形式。