细分 (图论)

✍ dations ◷ 2025-04-25 09:36:54 #图论

在图论中,细分(subdivision)或分割是指在一个图的其中一条边加入新的顶点,使这条边转变成由多个顶点构成之路径的变换,又称为扩展(expansion),为图子式理论中的基本算子之一,而变换完的像称为细分图。

在图论的一般情况下,细分通常是指对边的细分,而在一些领域中会有对面或其他结构的细分(如高维度的标记),例如重心细分(英语:Barycentric subdivision),有时会称为剖分及剖分图。

细分是一种作用于边上的变换,因此其需作用于特定的边,令其计为e,并令e所连接的两个顶点计为u和v,而细分会在顶点u和v之间加入一个新的顶点w,并使原本的边uv改成路径uwv则完成一次细分变换,换句话说,即先在uv边之间加入顶点w,移除uv边后将u和v连到w。

例如现在有一条边,计作,其由顶点和组成,计为{,}:

透过细分变换,产生了新的顶点w,将分割成两条边,分别计为12,皆连到新顶点w:

而细分变换存在逆变换,称为平滑(smoothing)变换。

细分变换的结果套用平滑变换会形成原像:

这两种变换的共通点是,其原像与变换像互为同胚。

更广义的,细分变换不一定只加入一个顶点,只要在边上有加入顶点的动作,都是一种细分,更精确地说,细分变换可以定义为将图G中的某一条边e替换为具有相同端点之路径,且构成该路径的顶点皆不在原本属于图G的顶点之中,且此路径也不会跟其他现有的顶点相连。

假设有二图G和H,若图H可以透过反复对图G套用细分变换而得,则图H可以称为图G的细分图。

扩展变换是指在一张图的某个边上,加入新的度为2之顶点,而产生的图可以称为原图的扩展。

当G'是G的细分时,则G'称为G的细分图,亦可以将G'称为G的扩展,计为TG,其中T表示扩展变换。G的原有的顶点若其位于细分作用的边上时,称为TG的分支顶点(branch vertex),在细分作用的边上加入之新的顶点称为TG的细分顶点(subdivision vertex),细分后产生的边称为细分边(subdivision edge),并且细分顶点具有度为2的特性。

细分的概念应用于图论,最早出现在1930年波兰数学家卡齐米日·库拉托夫斯基提出的一类禁用准则(指满足某种条件的图就一定无法具有某个性质)中,其所提出的库拉托夫斯基定理使用了细分图的概念。

细分可以用于几个与图论相关的证明和定理,例如判断两图是否同胚以及库拉托夫斯基定理中,对于简单图是否为平面图的准则,该定理为:如果一个简单图并不包含一个是 K5 或 K3,3 之细分图的子图,则该简单图是平面图,反之亦然,上述两条件为当且仅当关系。其中, K5 代表有 5 个点的完全图,K3,3 代表两部分各 3 个点的完全二分图,特别地,若一图的子图是K5或 K3,3之细分图,则该子图又称为库拉托夫斯基子图 。

此外,细分也可以用于将一般的图转换成简单图。

细分变换在图论中有一些不同的定义,例如重心细分(英语:Barycentric subdivision)在图论中就不是将多边形分割成三角形。

在图论中,重心细分(Barycentric subdivision)是指将图的所有边进行细分的变换,为一种特殊的细分变换,其变换的像总会是二分图,且是一个无回路(英语:Loop (graph theory))图,而任何无回路图的重心细分结果皆会是简单图。

重心细分可以被重复套用,任何图只要重复套用2次重心细分后结果总是简单图。

相关

  • 酿酒酿酒,是指应用酒精发酵等的手段生产含有酒精饮料的过程。根据原料和加工方式的不同,酿酒使用的微生物以及酿酒的过程各异。酿酒是世界上最古老的食品加工方式之一,发酵也是人类
  • 健康城市健康城市在1981年开始由世界卫生组织开始推动,由世界卫生组织所显示的资料指出,超过百万人口的城市有112个,最迟至2025年,全世界逾60%人口会居住在城市中。 工业化社会所带来的
  • 帕金森症帕金森病(Parkinson's disease,简称PD)是一种影响中枢神经系统的慢性神经退化疾病,主要影响运动神经系统。它的症状通常随时间缓慢出现,早期最明显的症状为颤抖、肢体僵硬、运动
  • 航天器2号缩尺复合体公司型号339 太空船2号(SpaceShipTwo)是一部亚轨道飞机,以携带太空游客。这飞机是由民间的太空船公司(英语:The Spaceship Company),一家由缩尺复合体公司及维珍集团共同
  • 韦斯特菲尔德坐标:42°07′30″N 72°45′00″W / 42.12500°N 72.75000°W / 42.12500; -72.75000韦斯特菲尔德(英语:Westfield)是美国马萨诸塞州汉登县的一个城市,韦斯特菲尔德河流过。面积
  • 726年前9世纪 | 前8世纪 | 前7世纪前740年代 前730年代 | 前720年代 | 前710年代 前700年代前731年 前730年 前729年 前728年 前727年 | 前726年 | 前725年 前724年 前723年 前7
  • 御法度《御法度》(日语:御法度,英文片名:Taboo)是一部由大岛渚执导的日本电影,在1999年公映。本片改编自司马辽太郎短篇小说集《新选组血风录(日语:新選組血風録)》中的《前髪の惣三郎》和
  • 高氙酸盐高氙酸盐是高氙酸(H4XeO6)所成的盐,含有高氙酸根离子—XeO64−。高氙酸盐都是强氧化剂,可由四氧化氙溶于水生成高氙酸,再用碱中和得到。高氙酸盐的溶解性与碳酸盐类似,高氙酸钾和
  • [Ni(NHsub3/sub)sub6/sub]sup2+/sup硝酸六氨合镍是硝酸镍的氨配合物,化学式为(NO3)2。硝酸六氨合镍可由硝酸镍和氨水反应得到。在300K开始失去氨,546K时二氨合物发生自身氧化还原:
  • 红巾特攻队《红巾特攻队》(韩语:빨간 마후라,英语:Red Muffler/Red Scarf)为1964年韩国战争电影,于1964年3月27日上映,片长100分钟,由韩国著名导演申相玉执导,申泰璿监制,申氏电影公司出品、制作