一阶常微分方程

一阶常微分方程是数学中常见而基础的一类微分方程，通常写成如下的形式：

其中的x是要解的未知函数，t是函数的自变量，f是一个已知的连续函数。

一阶常微分方程在物理学、生物学、化学以及各种自然与社会科学都能见到，是常见的数学模型的重要构成部分。

一阶线性微分方程是一阶常微分方程中基础的一类。通常写成如下形式：

其中I是方程的求解范围，一般是实数集的子集。a和b是已知的连续函数。如果b是零函数，则称此方程为齐次的，否则称其为非齐次的。

一阶齐次线性微分方程：

的解函数构成一个一维实线性空间：

一阶非齐次线性微分方程

的解函数构成一个一维实仿射空间：

其中

是原微分方程的一个特解。

如果一个一阶常微分方程能写成如下形式：

则称其为变量分离方程。“变量分离”意为方程右端的部分可以分离成两个不同部分的乘积，其中一个只与自变量t相关，另一个则只与未知函数x相关。

变量分离函数可以变形为：

的微分形式。将两端同时积分，可以得到：

这便是方程的通解。由于上述关系为隐函数关系，而不是${\displaystyle x=x(t)}$的形式，称为隐式解。

不少一阶常微分方程可以通过变量变换转化为变量分离方程，从而求解。

将一个普通的一阶常微分方程转写为微分的形式：

将t和x视为变量平等看待，可以将其看作是对称的一阶微分方程：

如果上述方程中的左侧恰好是某个二元函数的全微分：

那么隐函数：

就是原微分方程的解函数，其中的c可以是任意常数。具有这样性质的微分方程被称作恰当微分方程。要使得一个一阶常微分方程是恰当微分方程，其中的函数P和Q必须一阶连续可微，并且满足以下的条件：

而当以上条件满足时，也可以具体求出解函数的形式：

如果方程

中的函数P和Q不满足上述的关系式，则为了将其转化为恰当微分方程，会探讨能否通过添加适当的函数μ，使得：

这样的函数μ称为方程的积分因子。可以证明，只要原方程有解函数存在，则积分因子也必然存在，而且不一定是唯一的。

很多情况下，需要讨论带有初值问题的一阶常微分方程，即：

是否有解。

设E为一个完备的有限维赋范向量空间，U为E中的一个开集，I是${\displaystyle \mathbb{R}}$中的一个区间。函数f是从U×I映射到E中的连续函数。柯西-利普希茨定理说明了，若函数f在U中满足利普希茨条件，也就是说，

那么对于给定的初始条件：${\displaystyle x(t_0)=x_0}$，${\displaystyle t_0\in <!--\; \in \; -->I}$、${\displaystyle x_0\in <!--\; \in \; -->U}$，微分方程存在一个解${\displaystyle (J,x(t))}$，其中${\displaystyle J\subset <!--\; \subset \; -->I}$是一个包含${\displaystyle t_0}$的区间，${\displaystyle x(t)}$是一个从 ${\displaystyle J}$映射到${\displaystyle U}$的连续函数，满足初始条件和原微分方程。同时，满足初值条件的最大解唯一存在。