傅里叶变换

✍ dations ◷ 2025-04-03 11:29:40 #数字信号处理,傅里叶变换,积分变换,酉算子

傅里叶变换(法语:Transformation de Fourier、英语:Fourier transform)是一种线性积分变换,用于信号在时域(或空域)和频域之间的变换,在物理学和工程学中有许多应用。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。实际上傅里叶变换就像化学分析,确定物质的基本成分;信号来自自然界,也可对其进行分析,确定其基本成分。

经傅里叶变换生成的函数 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} 表示(以秒为单位),变换变量表示频率(以赫兹为单位)。在适当条件下, f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} 或。

傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中,复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展,由它表示的函数的周期趋近于无穷。

英语:Fourier transform或法语:Transformation de Fourier中文较常用的翻译名称有傅里叶变换、傅里叶转换等。为方便起见,本文统一写作傅里叶变换。

傅里叶变换在医学、数据科学、物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、讯号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在讯号处理中,傅里叶变换的典型用途是将讯号分解成振幅分量和频率分量。

两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是:若函数 f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 ( i ω ) k {\displaystyle (i\omega )^{k}} = 2其单位是弧度每秒。

应用ξ=ω/(2π)到上述公式会成为下面的形式:

根据这一形式,(傅里叶)逆变换变为:

若不按照本文中使用的,而像这样定义傅里叶变换,那它将不再是2(R)上的一个幺正变换 。另外这样的定义也使傅里叶变换与其逆变换显得不太对称。

另一个形式是把(2)均匀地分开给傅里叶变换和逆变换,即定义为:

根据这一形式,傅里叶变换是再次成为2(R)上的一个幺正变换。它也恢复了傅里叶变换和逆变换之间的对称。

所有三种形式的变化可以通过对正向和反向变换的复指数核取共轭来实现。核函数的符号必须是相反的。除此之外,选择是习惯问题。

如上所讨论的,一个随机变量的特征函数是相同的傅里叶变换斯蒂尔切斯其分布的测量,但在这种情况下它是典型采取不同的惯例为常数。通常情况下特征函数的定义 E ( e i t X ) = e i t x d μ X ( x ) {\displaystyle E(e^{it\cdot X})=\int e^{it\cdot x}d\mu _{X}(x)} 是实频率分量的振幅。

傅里叶分析最初是研究周期性现象,即傅里叶级数的,后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象。理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例,即其周期为无限长。

离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换(DTFT)的特例(有时作为后者的近似)。DTFT在时域上离散,在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆转换。

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换,必须将函数定义在点而非连续域内,且须满足有限性或周期性条件。这种情况下,使用离散傅里叶变换,将函数表示为下面的求和形式:

其中 X k {\displaystyle X_{k}} (), ()和(),它们的傅立叶变换分别表示为 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} 变量、、、、和为实数。对整个平面积分。

这两个函数都是高斯分布,而且可能不具有单位体积。

此圆有单位半径,如果把circ(t)认作阶梯函数u(1-t); Airy分布用J1(1阶第一类贝塞尔函数)表达。(Stein & Weiss 1971,Thm. IV.3.3)

相关

  • 男男男男性行为,是指男性跟男性一同从事的性行为,而不论从事者的性倾向或性别认同为何。《金赛报告》的著者于1948年指出37%的男性受访者有过至少一次的同性性行为经历。证据显示
  • 葵花籽油葵花籽,是指向日葵的果实 (连壳)或种子(去壳后)。颜色有黑色、白色和褐色,大部分种子都是多色于一体。可以做为零食,也可以榨油,葵花籽油可以用来煮菜,而且含有不饱和脂肪酸约90%,也是
  • 北美东部时区北美东部时区(North American Eastern Time Zone),或称美国东部时间(The Eastern Time Zone,ET),主要包括北美东海岸和南美西海岸,其标准时间(EST)为UTC-5,夏令时间(EDT)为UTC-4。此外,以
  • 艋舺青山宫坐标:25°02′24″N 121°29′58″E / 25.04000°N 121.49944°E / 25.04000; 121.49944艋舺青山宫,俗称青山宫、青山王宫、青山王庙、青山王馆、王爷公馆、万华青山宫或台北
  • 梯度在向量微积分中,梯度(gradient)是一种关于多元导数的概括。平常的一元(单变量)函数的导数是标量值函数,而多元函数的梯度是向量值函数。多元可微函数 f
  • 驻点在数学,特别在微积分,函数在一点处的一阶导数为零,该点即函数的驻点(Stationary Point)或稳定点,也就是说若 p {\displaystyle p}
  • 化学学院北京大学化学学院是北京大学的一个学院,在北京大学官方编制中被称为北京大学化学与分子工程学院(英语:College of Chemistry and Molecular Engineering, Peking University),因
  • M270 MLRS多管火箭发射系统227 毫米 610 毫米(MGM-140)火箭:约40秒12发 导弹:约10秒2发M270多管火箭系统(M270 Multiple Launch Rocket System,常缩写为M270 MLRS)是一个设有装甲的自走多管火箭炮武器系统
  • 经济民族主义经济民族主义(又称经济民粹主义)属于一种意识形态,主张经济干预主义胜于其他市场机制。其政策包括对经济,劳动力和资本形成的控制,即使这需要施加关税和其他限制。经济民族主义者
  • 连二磷酸79.5~81.5℃(一水合物)62~62.5℃(二水合物)连二磷酸(英语:Hypophosphoric acid),化学式H4P2O6,是一种无机酸,其中磷的氧化数为+4,故具有还原性。其固体多以二水合物(H4P2O6·2H2O)形式存在