傅里叶变换

傅里叶变换（法语：Transformation de Fourier、英语：Fourier transform）是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）和频域之间的变换，在物理学和工程学中有许多应用。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。实际上傅里叶变换就像化学分析，确定物质的基本成分；信号来自自然界，也可对其进行分析，确定其基本成分。

经傅里叶变换生成的函数 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}$表示（以秒为单位），变换变量表示频率（以赫兹为单位）。在适当条件下，${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}$ 或。

傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中，复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展，由它表示的函数的周期趋近于无穷。

英语：Fourier transform或法语：Transformation de Fourier中文较常用的翻译名称有傅里叶变换、傅里叶转换等。为方便起见，本文统一写作傅里叶变换。

傅里叶变换在医学、数据科学、物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、讯号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在讯号处理中，傅里叶变换的典型用途是将讯号分解成振幅分量和频率分量。

两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数${\displaystyle f\left(x\right)}$阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子${\displaystyle (i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{)}^k}$ = 2其单位是弧度每秒。

应用ξ=ω/（2π）到上述公式会成为下面的形式：

根据这一形式，（傅里叶）逆变换变为：

若不按照本文中使用的，而像这样定义傅里叶变换，那它将不再是2(R)上的一个幺正变换 。另外这样的定义也使傅里叶变换与其逆变换显得不太对称。

另一个形式是把(2)均匀地分开给傅里叶变换和逆变换，即定义为：

根据这一形式，傅里叶变换是再次成为2(R)上的一个幺正变换。它也恢复了傅里叶变换和逆变换之间的对称。

所有三种形式的变化可以通过对正向和反向变换的复指数核取共轭来实现。核函数的符号必须是相反的。除此之外，选择是习惯问题。

如上所讨论的，一个随机变量的特征函数是相同的傅里叶变换斯蒂尔切斯其分布的测量，但在这种情况下它是典型采取不同的惯例为常数。通常情况下特征函数的定义${\displaystyle E(e^{it\cdot <!--\; \cdot \; -->X})=\int <!--\; \int \; -->e^{it\cdot <!--\; \cdot \; -->x}d{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_X(x)}$和是实频率分量的振幅。

傅里叶分析最初是研究周期性现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象。理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例，即其周期为无限长。

离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆转换。

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换，将函数表示为下面的求和形式：

其中${\displaystyle X_k}$(), ()和()，它们的傅立叶变换分别表示为${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}}$ 变量、、、、和为实数。对整个平面积分。

这两个函数都是高斯分布，而且可能不具有单位体积。

此圆有单位半径，如果把circ（t）认作阶梯函数u(1-t); Airy分布用J₁（1阶第一类贝塞尔函数）表达。（Stein & Weiss 1971，Thm. IV.3.3）