欧拉-拉格朗日方程

✍ dations ◷ 2025-09-09 22:29:55 #变分法,微分方程

欧拉-拉格朗日方程（英语：Euler-Lagrange equation）为变分法中的一条重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的临界值（平稳值）函数，换句话说也就是求此泛函在其定义域的临界点的一个方法，与微积分差异的地方在于，泛函的定义域为函数空间而不是 $\mathbb {R} ^{n}$ , ]上的实值函数满足() = 与() = ，并且沿着所定义的曲线的道路长度最短。

被积函数为

的偏导数为

以及

把上面两式代入欧拉-拉格朗日方程，可以得到

也就是说，该函数的一阶导数必须为常值，因此其图像为直线。

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