高斯-博内定理

✍ dations ◷ 2025-07-02 23:19:07 #曲面的微分几何,数学定理,黎曼曲面

在微分几何中，高斯-博内定理（亦称高斯-博内公式）是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述。它是以卡尔·弗里德里希·高斯和皮埃尔·奥西安·博内命名的，前者发现了定理的一个版本但从未发表，后者1848年发表了该定理的一个特例。

设 $M {\displaystyle M}$ 是该曲面的面积元，是边界的线元。此处 $\chi (M)$ $\chi (M)$ 是 $M {\displaystyle M}$ $M$ 的欧拉示性数。

如果 $\partial M$ $\partial M$ 的边界是分段光滑的，我们将 $\int _{\partial M}k_{g}\;ds$ $\int _{{\partial M}}k_{g}\;ds$ 视作光滑部分相应的积分之和，加上光滑部分在曲线边界上的转过的角度之和。

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