莱布尼茨三角形

✍ dations ◷ 2025-02-27 14:23:56 #三角形,整数数列,戈特弗里德·莱布尼茨

莱布尼茨三角形是一种将分数以等腰三角形排列的一种排列方式，三角形二侧最外层的数字是其行编号的倒数，其中间的数字是其左侧数字和左上方数字差的绝对值。若用代数方式表示：

莱布尼茨三角形是数学家戈特弗里德·莱布尼茨在1714年提出。莱布尼茨三角形的前几列为：

${\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&1&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{5}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1}{7}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{140}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{7}}&&\\&&{\frac {1}{8}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}$ 行的所有分母相加，其结果会是 $n2^{n-1}$ $n2^{{n-1}}$ 。例如第3行的分母和为3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 22。

特别是的莱布尼茨三角形中的各项可以用以下的积分式表示：

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