域 (数学)

✍ dations ◷ 2025-06-21 14:35:41 #域论,环论,代数结构

在抽象代数中，域（德语：Körper，英语：Field）是一种集合，在这个集合中可以对集合的非零元素进行加法、减法、乘法和除法，其运算的定义与行为就如同有理数还有实数一样。域的概念是数域以及四则运算的推广。因此域是一个广泛运用在代数、数论还有其他数学领域中的代数结构。

域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的非零元素可以进行除法运算，这等于说每个非零的元素都要有乘法逆元。域中的运算关于乘法是可交换的。若乘法运算没有要求可交换则称为除环（division ring）或skew field。

最有名的域结构的例子就是有理数域、实数域还有复数域。还有其他形式的域，例如有理函数域、代数函数域、代数数域、p进数域等，都很常在数学的领域中被使用或是研究，特别是数论或是代数几何。此外还有一些密码学上的安全协定都是依靠着有限域。

在两个域中的关系被表示成域扩张的观念。Galois理论，由ÉvaristeGalois在1830年代提出，致力于理解域扩展的对称性。其中Galois理论还有其他结果，解决了不能用尺规作图做出三等份角以及化方为圆的问题。此外，还解决了五次方程不能有公式解的问题。

非正式的讲，域是种集合，集合中的元素可以做两种运算，"加法"： $a+b$ , +, *)，当中加法单位元（0）不等于乘法单位元（1），且所有非零元素有乘法逆元。更简单讲就是：域是可交换除环。

域是个集合 $F {\displaystyle F}$ ₁, ₂, ₃的排列，在以下的表达

(₁ + ω₂ + ω2₃)3

(其中ω是三次方程的单位根)只产生两个值。在这方向上，拉格朗日概念上的解释了由希皮奥内·德尔·费罗和弗朗索瓦·韦达的经典解法，其解法借由简化三次方程关于未知到一个 3的二次方程。四次方程上也和三次方程一样有相似的观察，拉格朗日因此连结的关于域的概念还有群的概念。数学家范德蒙也同样在1770年有着更全面的延伸。

请参见伽罗瓦理论

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