卡方分配

卡方分布（chi-square distribution, χ²-distribution，或写作χ²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是统计推断中应用最为广泛的概率分布之一，例如假设检验和置信区间的计算。由卡方分布延伸出来皮尔森卡方检定常用于：若k个随机变量 Z 1 {displaystyle Z_{1}} 、……、 Z k {displaystyle Z_{k}} 是相互独立，符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。卡方分布的概率密度函数为：其中x≥0，当x≤0时 f k ( x ) = 0 {displaystyle f_{k}(x)=0} 。这里Γ代表Gamma函数。卡方分布的累积分布函数为：其中γ(k,z)为不完全Γ函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：其中 ψ ( x ) {displaystyle psi (x)} 是双伽玛函数。当Gamma变量 频率（λ）为1/2时，α的2倍为卡方变量之自由度。 即：卡方变量之期望值＝自由度 卡方变量之方差＝两倍自由度p-value = 1- p_CDF.χ2越大，p-value越小，则可信度越高。通常用p=0.05作为阈值，即95%的可信度。常用的χ2与p-value表如下: