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海涅－康托尔定理

✍ dations ◷ 2025-06-16 23:39:09 #连续映射,度量几何,数学定理

海涅-康托尔定理，以Eduard Heine（英语：Eduard Heine）和乔治·康托尔命名，说明如果是一个紧度量空间，则每一个连续函数

其中是度量空间，都是一致连续的。

例如，如果 : → R是一个连续函数，则它是一致连续的。

假设在紧度量空间上连续，但不一致连续，则以下命题

的否定是：

其中和 $\rho$ 和上的距离函数。

选择两个序列和，使得：

由于度量空间是紧致的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，存在两个收敛的子序列（ $x_{n_{k}}$ ₀， $y_{n_{k}}$ ₀），因此：

但由于是连续的，且 $x_{n_{k}}$ $x_{n_k}$ 和 $y_{n_{k}}$ $y_{n_{k}}$ 收敛于相同的点，因此这是不可能的。

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