海涅－康托尔定理

海涅-康托尔定理，以Eduard Heine（英语：Eduard Heine）和乔治·康托尔命名，说明如果是一个紧度量空间，则每一个连续函数

其中是度量空间，都是一致连续的。

例如，如果 : → R是一个连续函数，则它是一致连续的。

假设在紧度量空间上连续，但不一致连续，则以下命题

的否定是：

其中和${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$和上的距离函数。

选择两个序列和，使得：

由于度量空间是紧致的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，存在两个收敛的子序列（${\displaystyle x_{n_k}}$₀，${\displaystyle y_{n_k}}$₀），因此：

但由于是连续的，且${\displaystyle x_{n_k}}$和${\displaystyle y_{n_k}}$收敛于相同的点，因此这是不可能的。