可分离变量的微分方程

✍ dations ◷ 2025-07-19 07:50:54 #微分方程

可分离变量的微分方程也叫做变量分离方程,指的是形如 d y d x = f ( x ) φ ( y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)\varphi (y)} 的方程.

可化为 g ( y ) d y = f ( x ) d x {\displaystyle g(y)dy=f(x)dx} 的方程,称为可分离变量的微分方程.

分离变量法:

d y d x = f ( x ) φ ( y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)\varphi (y)} ,若 φ ( y ) 0 {\displaystyle \varphi (y)\neq 0} d y φ ( y ) = f ( x ) d x {\displaystyle {\frac {dy}{\varphi (y)}}=f(x)dx} ,两边取不定积分,得 d y φ ( y ) = f ( x ) d x + c {\displaystyle \int {\frac {dy}{\varphi (y)}}=\int f(x)dx\,+c} ,这里 d y φ ( y ) {\displaystyle \int {\frac {dy}{\varphi (y)}}} f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)dx\,} 理解为某个确定的原函数, c {\displaystyle c} 为任意常数.

g ( y ) d y = f ( x ) d x {\displaystyle g(y)dy=f(x)dx} 也是一样的解法.

1.不定积分法

g ( y ) d y = f ( x ) d x {\displaystyle g(y)dy=f(x)dx} 为例,若给初始条件 y x = x 0 = y 0 {\displaystyle y\mid _{x=x_{0}}=y_{0}} ,则对 g ( y ) d y = f ( x ) d x {\displaystyle g(y)dy=f(x)dx} 两边取不定积分,得

g ( y ) d y = f ( x ) d x + c {\displaystyle \int g(y)dy=\int f(x)dx+c} ,将初始条件代入,求得

c = c 0 {\displaystyle c=c_{0}} ,再代回原方程即得所要求的特解 F ( x , y ) {\displaystyle F(x,y)} .


2.变上限积分法

仍以 g ( y ) d y = f ( x ) d x {\displaystyle g(y)dy=f(x)dx} 为例,若给初始条件 y x = x 0 = y 0 {\displaystyle y\mid _{x=x_{0}}=y_{0}} ,对 g ( y ) d y = f ( x ) d x {\displaystyle g(y)dy=f(x)dx} 两边取不定积分,得

G ( y ) = F ( x ) + c {\displaystyle G(y)=F(x)+c} ,其中 G ( y ) , F ( x ) {\displaystyle G(y),F(x)} 分别为 g ( y ) , f ( x ) {\displaystyle g(y),f(x)} 的一个原函数,代入初始条件,有

G ( y 0 ) = F ( x 0 ) + c c = G ( y 0 ) F ( x 0 ) {\displaystyle G(y_{0})=F(x_{0})+c\Rightarrow c=G(y_{0})-F(x_{0})} ,代回原方程得特解为 G ( y ) = F ( x ) + G ( y 0 ) F ( x 0 ) {\displaystyle G(y)=F(x)+G(y_{0})-F(x_{0})} ,即

G ( y ) G ( y 0 ) = F ( x ) F ( x 0 ) {\displaystyle G(y)-G(y_{0})=F(x)-F(x_{0})} ,根据牛顿—莱布尼茨公式,可知

y 0 y g ( u ) d u = x 0 x f ( v ) d v {\displaystyle \int _{y_{0}}^{y}g(u)du=\int _{x_{0}}^{x}f(v)dv} ,在不混淆的时候,可写为

y 0 y g ( y ) d y = x 0 x f ( x ) d x {\displaystyle \int _{y_{0}}^{y}g(y)dy=\int _{x_{0}}^{x}f(x)dx} .


所以可以用两边取变上限积分的方法求这类初值问题.


若又给条件 y x = x 1 = y 1 {\displaystyle y\mid _{x=x_{1}}=y_{1}} ,将此条件代入 G ( y ) G ( y 0 ) = F ( x ) F ( x 0 ) {\displaystyle G(y)-G(y_{0})=F(x)-F(x_{0})} ,得

G ( y 1 ) G ( y 0 ) = F ( x 1 ) F ( x 0 ) {\displaystyle G(y_{1})-G(y_{0})=F(x_{1})-F(x_{0})} ,即

y 0 y 1 g ( y ) d y = x 0 x 1 f ( x ) d x {\displaystyle \int _{y_{0}}^{y_{1}}g(y)dy=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)dx} .

1.《常微分方程(第三版)》王高雄、周之铭等编 高等教育出版社

2.《高等数学(第六版)》同济大学

3.《微积分(第二版)》同济大学应用数学系

4.《微积分学习指导书》同济大学应用数学系

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