可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程也叫做变量分离方程，指的是形如${\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)}$的方程.

可化为${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$的方程，称为可分离变量的微分方程.

分离变量法：

对${\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)}$，若${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)\ne <!--\; \ne \; -->0}$则${\displaystyle \frac{dy}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)}=f(x)dx}$，两边取不定积分，得${\displaystyle \int <!--\; \int \; -->\frac{dy}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)}=\int <!--\; \int \; -->f(x)dx+c}$，这里${\displaystyle \int <!--\; \int \; -->\frac{dy}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)}}$和${\displaystyle \int <!--\; \int \; -->f(x)dx}$理解为某个确定的原函数，${\displaystyle c}$为任意常数.

对${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$也是一样的解法.

1.不定积分法

以${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$为例，若给初始条件${\displaystyle y{\mid <!--\; \mid \; -->}_{x=x_0}=y_0}$,则对${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$两边取不定积分，得

${\displaystyle \int <!--\; \int \; -->g(y)dy=\int <!--\; \int \; -->f(x)dx+c}$,将初始条件代入,求得

${\displaystyle c=c_0}$,再代回原方程即得所要求的特解${\displaystyle F(x,y)}$.

2.变上限积分法

仍以${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$为例，若给初始条件${\displaystyle y{\mid <!--\; \mid \; -->}_{x=x_0}=y_0}$,对${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$两边取不定积分，得

${\displaystyle G(y)=F(x)+c}$,其中${\displaystyle G(y),F(x)}$分别为${\displaystyle g(y),f(x)}$的一个原函数，代入初始条件，有

${\displaystyle G(y_0)=F(x_0)+c\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->c=G(y_0)-<!--\; -\; -->F(x_0)}$,代回原方程得特解为${\displaystyle G(y)=F(x)+G(y_0)-<!--\; -\; -->F(x_0)}$,即

${\displaystyle G(y)-<!--\; -\; -->G(y_0)=F(x)-<!--\; -\; -->F(x_0)}$,根据牛顿—莱布尼茨公式，可知

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{y_0}^{y}g(u)du={\int <!--\; \int \; -->}_{x_0}^{x}f(v)dv}$,在不混淆的时候，可写为

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{y_0}^{y}g(y)dy={\int <!--\; \int \; -->}_{x_0}^{x}f(x)dx}$.

所以可以用两边取变上限积分的方法求这类初值问题.

若又给条件${\displaystyle y{\mid <!--\; \mid \; -->}_{x=x_1}=y_1}$,将此条件代入${\displaystyle G(y)-<!--\; -\; -->G(y_0)=F(x)-<!--\; -\; -->F(x_0)}$,得

${\displaystyle G(y_1)-<!--\; -\; -->G(y_0)=F(x_1)-<!--\; -\; -->F(x_0)}$,即

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{y_0}^{y_1}g(y)dy={\int <!--\; \int \; -->}_{x_0}^{x_1}f(x)dx}$.

1.《常微分方程（第三版）》王高雄、周之铭等编 高等教育出版社

2.《高等数学（第六版）》同济大学

3.《微积分（第二版）》同济大学应用数学系

4.《微积分学习指导书》同济大学应用数学系