四维矢量

在相对论里，四维矢量（four-vector）是实值四维矢量空间里的矢量。这四维矢量空间称为闵可夫斯基时空。四维矢量的分量分别为在某个时间点与三维空间点的四个数量。在闵可夫斯基时空内的任何一点，都代表一个“事件”，可以用四维矢量表示。从任意惯性参考系观察某事件所获得的四维矢量，通过洛伦兹变换，可以变换为从其它惯性参考系观察该事件所获得的四维矢量。

本文章只思考在狭义相对论范围内的四维矢量，尽管四维矢量的概念延伸至广义相对论。在本文章内写出的一些结果，必须加以修改，才能在广义相对论范围内成立。

在闵可夫斯基时空内的任何一点，都可以用四维矢量（一组标准基底的四个坐标） ${\displaystyle x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=(x^0,x^1,x^2,x^3)}$ 来表示；其中，上标 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=0,1,2,3}$ 标记时空的维数次序。称这四维矢量为“坐标四维矢量”，又称“四维坐标”，定义为

其中，${\displaystyle c}$ 是光速，${\displaystyle t}$ 是时间，${\displaystyle (x,y,z)}$ 是位置的三维直角坐标。

为了确使每一个坐标的单位都是长度单位，定义 ${\displaystyle x^0\stackrel{def}{=}ct}$ 。

“四维位移”定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里，四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时，位移就是位置。四维位移 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 表示为

带有上标的四维矢量 ${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 称为反变矢量，其分量标记为

假若，标号是下标，则称四维矢量 ${\displaystyle U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 为协变矢量。其分量标记为

在这里，闵可夫斯基度规 ${\displaystyle {\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 被设定为

采用爱因斯坦求和约定，则四维矢量的协变坐标和反变坐标之间的关系为

闵可夫斯基度规与它的“共轭度规张量” ${\displaystyle {\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 相等：

给予两个惯性参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$、 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ ；相对于参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$，参考系 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ 以速度 ${\displaystyle \mathbf{v}=v\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{x}}}$ 移动。对于这两个参考系，相关的“洛伦兹变换矩阵” ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 是

其中，${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}}$ 是洛伦兹因子，${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{v}{c}}$是“贝塔因子”。

对于这两个参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$、 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ ，假设一个事件的四维坐标分别为 ${\displaystyle x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$、 ${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 。那么，这两个四维坐标之间的关系为

其中，${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 是 ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 的逆反，

将这两个四维坐标之间的关系式合并为一，则可得到

因此，可以找到洛伦兹变换矩阵的一个特性：

其中，${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{}_{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}}$ 是克罗内克函数。

另外一个很有用的特性为

给定一个事件在某惯性参考系的四维坐标，通过洛伦兹变换，就可计算出这事件在另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很有用的物理性质。当研究物理现象时，所涉及的四维矢量，最好都能够具有这有用的性质。这样，可以使得数学分析更加精致犀利。以方程表示，对于两个参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$、 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$，具有这种有用性质的四维矢量 ${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 、${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{U}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 满足

在计算这四维矢量对于时间的导数时，若能选择固有时为时间变数，则求得的四维矢量仍旧具有这有用的性质。因为，固有时乃是个不变量；改变惯性参考系不会改变不变量。

假设一个物体运动于闵可夫斯基时空。在“实验室参考系”里，物体运动的速度随着时间改变。对于每瞬时刻，选择与物体同样运动的惯性参考系，称为“瞬间共动参考系”（momentarily comoving reference frame）。在这瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，这参考系也是物体的“瞬间静止参考系”。随着物体不断地改变运动速度与方向，新的惯性参考系也会不断地改换为瞬间共动参考系。:41-42随着这些不断改换的瞬间同行坐标系所测得的时间即为固有时，标记为 ${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ 。这就好像给物体挂戴一只手表，随着物体的运动，手表也会做同样的运动，而手表所纪录的时间就是固有时。

这物体的运动可以用一条世界线 ${\displaystyle x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$ 来描述。由于时间膨胀，发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ 与从别的惯性参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$ 所观测到的微小时间间隔 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t}$ 的关系为

所以，固有时 ${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ 对于其它时间 ${\displaystyle t}$ 的导数为

在闵可夫斯基空间里，两个四维矢量 ${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 与 ${\displaystyle V_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的内积，称为闵可夫斯基内积，以方程表示为：

由于这内积并不具正定性，即

可能会是负数；而欧几里得内积一定不是负数。

许多学者喜欢使用相反正负号的 ${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$：

这样，${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 与 ${\displaystyle V_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的内积改变为

其它相联的量值也会因而改变正负号，但这不会改变系统的物理性质。

从参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$ 改换至另一参考系 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ ，${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 与 ${\displaystyle V_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的内积为

所以，在闵可夫斯基时空内，两个四维矢量的内积是个不变量：:44-46

四维矢量可以分类为类时，类空，或类光（零矢量）：

设想一个物体运动于闵可夫斯基时空，则其世界线的任意事件 ${\displaystyle x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$ 的四维速度 ${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 定义为:46-48

其中，${\displaystyle \mathbf{u}=\left(\frac{\mathrm{d}{x}^1}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}{x}^2}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}{x}^3}{\mathrm{d}t}\right)}$ 是三维速度，或经典速度矢量。

${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的空间部分与经典速度 ${\displaystyle \mathbf{u}}$ 的关系为

四维速度与自己的内积等于光速平方，是一个不变量：

在物体的瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，四维速度为

其方向与瞬间共动参考系的第零个基底矢量 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{e}}}_0={\left(1,0,0,0\right)}_{MCRF}}$ 同向；

其中，${\displaystyle MCRF}$ 表示从瞬间共动参考系观察得到的数据。

四维加速度 ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 定义为 :46-48

经过一番运算，可以得到洛伦兹因子对于时间的导数：

其中，${\displaystyle \mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}}$ 是经典加速度。

所以，四维加速度 ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 可以表示为

由于 ${\displaystyle U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{U}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 是个常数，四维加速度与四维速度相互正交；也就是说，四维速度与四维加速度的闵可夫斯基内积等于零：

对于每一条世界线，这计算结果都成立。

注意到在瞬间共动参考系里， ${\displaystyle U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 只有时间分量不等与零，所以， ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 为的时间分量为零：

一个静止质量为 ${\displaystyle m}$ 的粒子的四维动量 ${\displaystyle P^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 定义为

经典动量 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 定义为

其中，${\displaystyle m_{rel}}$ 是相对论性质量。

所以，${\displaystyle P^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的空间部分等于经典动量 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ ：

作用于粒子的四维力定义为粒子的四维动量对于固有时的导数：

提出四维动量内的静止质量因子，即可发觉四维力就是静止质量乘以四维加速度：

因此，四维力可以表示为

经典力 ${\displaystyle \mathbf{f}}$ 定义为

所以，${\displaystyle F^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$的空间部分等于 ${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\mathbf{f}}$ ：

在四维矢量的表述里，存在着许多能量与物质之间的关系。从这些特别关系，可以显示出这表述的功能与精致。

假设，在微小时间间隔 ${\displaystyle \mathrm{d}t}$

相关

• 细胞连接细胞连接（或细胞间桥(intercellular bridge)）是在一些多细胞生物例如动物的组织中存在的一种结构。细胞连接包括该相邻细胞之间或细胞和细胞外基质之间提供接触的蛋白质复合物
• 化合反应化合反应是一类化学反应的总称（通常是指无机反应），是指两个或多个反应物经过化学反应生成一种产物。例如，氢气和氧气燃烧生成水就是化合反应。通常化合反应都是放热反应。
• 联邦院执政联盟（89）：在野党（155）：其他（10）：缺额（1）：联邦院（印地语：राज्य सभा、英语：Rajya Sabha）是印度国会的上议院。议员最多有250名，其中12名由总统根据他们在艺术、文学、科学和社会服
• 彼尔姆彼尔姆边疆区（俄语：Пермский край，罗马化：Permsky krai），位于乌拉尔山脉中段以西，是俄罗斯联邦主体之一，属伏尔加联邦管区。由原彼尔姆州及科米彼尔米亚克自治区于2005
• 新五代史《新五代史》，北宋欧阳脩撰，是唐代以后唯一私修正史。尹洙与欧阳修打算合撰《新五代史》，但因史观不同而作罢，尹洙后来独撰两卷的《五代春秋》。宋仁宗皇祐五年（1053年）《新五代史
• 科罗曼德尔海岸乌木海岸是印度半岛东南部海岸的名称，又译为科罗曼德尔海岸（英语：Coromandel Coast）。一般认为其名称来源于泰米尔语词汇Chola Mandalam现在乌木海岸分别由 泰米尔纳德邦、安得
• 美国内战的转捩点对于美国内战的转捩点，各家观点极不一致。美国内战中最常被引用为决定性事件者或为葛底斯堡战役，但另有其他同具价值的选择。转捩点观念为，经此事件后，大多数的观察家会认为其后
• 印度列国时代印度列国时代（梵语：महाजनपद，Mahajanapada，意为“大国”，约前600年—约前300年），是印度历史上的一个时期，前承印度吠陀时代。主要是十六大国并立争霸，这些大国主要分布在印度中
• 水力旋流器水力旋流器是根据不同粒度的矿物做回旋运动时所受到的离心力不同而达到分离矿物的目的的设备。但水力旋流器的作用不仅仅局限于分离矿物，在水体净化、溶液除杂等也有运用。矿
• 若望十五世教宗若望十五世（拉丁语：Ioannes PP. XV；？－996年4月）本名不详，于985年8月至996年3月岀任教宗。如同在他之前占有教宗地位的对立教宗波尼法爵七世（英语：Antipope Boniface VII），他也是获