四维矢量

✍ dations ◷ 2025-04-04 04:44:18 #力学,闵可夫斯基时空,相对论,基本物理概念,物理量

在相对论里，四维矢量（four-vector）是实值四维矢量空间里的矢量。这四维矢量空间称为闵可夫斯基时空。四维矢量的分量分别为在某个时间点与三维空间点的四个数量。在闵可夫斯基时空内的任何一点，都代表一个“事件”，可以用四维矢量表示。从任意惯性参考系观察某事件所获得的四维矢量，通过洛伦兹变换，可以变换为从其它惯性参考系观察该事件所获得的四维矢量。

本文章只思考在狭义相对论范围内的四维矢量，尽管四维矢量的概念延伸至广义相对论。在本文章内写出的一些结果，必须加以修改，才能在广义相对论范围内成立。

在闵可夫斯基时空内的任何一点，都可以用四维矢量（一组标准基底的四个坐标） ${x}^{\mu }=({x}^{0},\,{x}^{1},\,{x}^{2},\,{x}^{3})$ ${x}^{{\mu }}=({x}^{0},\,{x}^{1},\,{x}^{2},\,{x}^{3})$ 来表示；其中，上标 $\mu =0,\,1,\,2,\,3$ $\mu =0,\,1,\,2,\,3$ 标记时空的维数次序。称这四维矢量为“坐标四维矢量”，又称“四维坐标”，定义为

其中， $c {\displaystyle c}$ $c$ 是光速， $t {\displaystyle t}$ $t$ 是时间， $(x,\,y,\,z)$ $(x,\,y,\,z)$ 是位置的三维直角坐标。

为了确使每一个坐标的单位都是长度单位，定义 ${x}^{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ ct$ ${x}^{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ ct$ 。

“四维位移”定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里，四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时，位移就是位置。四维位移 $\Delta {x}^{\mu }$ $\Delta {x}^{{\mu }}$ 表示为

带有上标的四维矢量 ${U}^{\mu }$ ${U}^{{\mu }}$ 称为反变矢量，其分量标记为

假若，标号是下标，则称四维矢量 ${U}_{\mu }$ ${U}_{{\mu }}$ 为协变矢量。其分量标记为

在这里，闵可夫斯基度规 $\eta _{\mu \nu }$ $\eta _{{\mu \nu }}$ 被设定为

采用爱因斯坦求和约定，则四维矢量的协变坐标和反变坐标之间的关系为

闵可夫斯基度规与它的“共轭度规张量” $\eta ^{\mu \nu }$ $\eta ^{{\mu \nu }}$ 相等：

给予两个惯性参考系 ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ 、 ${\bar {\mathcal {S}}}$ ${\bar {{\mathcal {S}}}}$ ；相对于参考系 ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ，参考系 ${\bar {\mathcal {S}}}$ ${\bar {{\mathcal {S}}}}$ 以速度 $\mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {x} }}$ ${\mathbf {v}}=v{\hat {{\mathbf {x}}}}$ 移动。对于这两个参考系，相关的“洛伦兹变换矩阵” $\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }$ $\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }$ 是

其中， $\gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$ $\gamma ={\cfrac {1}{{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}$ 是洛伦兹因子， $\beta ={\frac {v}{c}}$ $\beta ={\frac {v}{c}}$ 是“贝塔因子”。

对于这两个参考系 ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ 、 ${\bar {\mathcal {S}}}$ ${\bar {{\mathcal {S}}}}$ ，假设一个事件的四维坐标分别为 ${x}^{\mu }$ ${x}^{{\mu }}$ 、 ${\bar {x}}^{\mu }$ ${\bar {x}}^{{\mu }}$ 。那么，这两个四维坐标之间的关系为

其中， ${\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }$ ${\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }$ 是 $\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }$ $\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }$ 的逆反，

将这两个四维坐标之间的关系式合并为一，则可得到

因此，可以找到洛伦兹变换矩阵的一个特性：

其中， $\delta ^{\mu }{}_{\xi }$ $\delta ^{\mu }{}_{\xi }$ 是克罗内克函数。

另外一个很有用的特性为

给定一个事件在某惯性参考系的四维坐标，通过洛伦兹变换，就可计算出这事件在另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很有用的物理性质。当研究物理现象时，所涉及的四维矢量，最好都能够具有这有用的性质。这样，可以使得数学分析更加精致犀利。以方程表示，对于两个参考系 ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ 、 ${\bar {\mathcal {S}}}$ ${\bar {{\mathcal {S}}}}$ ，具有这种有用性质的四维矢量 ${U}^{\mu }$ ${U}^{{\mu }}$ 、 ${\bar {U}}^{\mu }$ ${\bar {U}}^{\mu }$ 满足

在计算这四维矢量对于时间的导数时，若能选择固有时为时间变数，则求得的四维矢量仍旧具有这有用的性质。因为，固有时乃是个不变量；改变惯性参考系不会改变不变量。

假设一个物体运动于闵可夫斯基时空。在“实验室参考系”里，物体运动的速度随着时间改变。对于每瞬时刻，选择与物体同样运动的惯性参考系，称为“瞬间共动参考系”（momentarily comoving reference frame）。在这瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，这参考系也是物体的“瞬间静止参考系”。随着物体不断地改变运动速度与方向，新的惯性参考系也会不断地改换为瞬间共动参考系。:41-42随着这些不断改换的瞬间同行坐标系所测得的时间即为固有时，标记为 $\tau$ $\tau$ 。这就好像给物体挂戴一只手表，随着物体的运动，手表也会做同样的运动，而手表所纪录的时间就是固有时。

这物体的运动可以用一条世界线 $x(\tau )$ $x(\tau )$ 来描述。由于时间膨胀，发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔 $\Delta \tau$ $\Delta \tau$ 与从别的惯性参考系 ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ 所观测到的微小时间间隔 $\Delta t$ $\Delta t$ 的关系为

所以，固有时 $\tau$ $\tau$ 对于其它时间 $t {\displaystyle t}$ $t$ 的导数为

在闵可夫斯基空间里，两个四维矢量 $U^{\mu }$ $U^{{\mu }}$ 与 $V_{\mu }$ $V_{{\mu }}$ 的内积，称为闵可夫斯基内积，以方程表示为：

由于这内积并不具正定性，即

可能会是负数；而欧几里得内积一定不是负数。

许多学者喜欢使用相反正负号的 $\eta$ $\eta$ ：

这样， $U^{\mu }$ $U^{{\mu }}$ 与 $V_{\mu }$ $V_{{\mu }}$ 的内积改变为

其它相联的量值也会因而改变正负号，但这不会改变系统的物理性质。

从参考系 ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ 改换至另一参考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ $\overline {{\mathcal {S}}}$ ， $U^{\mu }$ $U^{{\mu }}$ 与 $V_{\mu }$ $V_{{\mu }}$ 的内积为

所以，在闵可夫斯基时空内，两个四维矢量的内积是个不变量：:44-46

四维矢量可以分类为类时，类空，或类光（零矢量）：

设想一个物体运动于闵可夫斯基时空，则其世界线的任意事件 $x^{\mu }(\tau )$ $x^{{\mu }}(\tau )$ 的四维速度 $U^{\mu }$ $U^{{\mu }}$ 定义为:46-48

其中， $\mathbf {u} =\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}},\,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}},\,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)$ ${\mathbf {u}}=\left({\frac {{\mathrm {d}}x^{1}}{{\mathrm {d}}t}},\,{\frac {{\mathrm {d}}x^{2}}{{\mathrm {d}}t}},\,{\frac {{\mathrm {d}}x^{3}}{{\mathrm {d}}t}}\right)$ 是三维速度，或经典速度矢量。