四维矢量

在相对论里，四维矢量（four-vector）是实值四维矢量空间里的矢量。这四维矢量空间称为闵可夫斯基时空。四维矢量的分量分别为在某个时间点与三维空间点的四个数量。在闵可夫斯基时空内的任何一点，都代表一个“事件”，可以用四维矢量表示。从任意惯性参考系观察某事件所获得的四维矢量，通过洛伦兹变换，可以变换为从其它惯性参考系观察该事件所获得的四维矢量。

本文章只思考在狭义相对论范围内的四维矢量，尽管四维矢量的概念延伸至广义相对论。在本文章内写出的一些结果，必须加以修改，才能在广义相对论范围内成立。

在闵可夫斯基时空内的任何一点，都可以用四维矢量（一组标准基底的四个坐标） ${\displaystyle x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=(x^0,x^1,x^2,x^3)}$ 来表示；其中，上标 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=0,1,2,3}$ 标记时空的维数次序。称这四维矢量为“坐标四维矢量”，又称“四维坐标”，定义为

其中，${\displaystyle c}$ 是光速，${\displaystyle t}$ 是时间，${\displaystyle (x,y,z)}$ 是位置的三维直角坐标。

为了确使每一个坐标的单位都是长度单位，定义 ${\displaystyle x^0\stackrel{def}{=}ct}$ 。

“四维位移”定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里，四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时，位移就是位置。四维位移 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 表示为

带有上标的四维矢量 ${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 称为反变矢量，其分量标记为

假若，标号是下标，则称四维矢量 ${\displaystyle U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 为协变矢量。其分量标记为

在这里，闵可夫斯基度规 ${\displaystyle {\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 被设定为

采用爱因斯坦求和约定，则四维矢量的协变坐标和反变坐标之间的关系为

闵可夫斯基度规与它的“共轭度规张量” ${\displaystyle {\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 相等：

给予两个惯性参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$、 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ ；相对于参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$，参考系 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ 以速度 ${\displaystyle \mathbf{v}=v\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{x}}}$ 移动。对于这两个参考系，相关的“洛伦兹变换矩阵” ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 是

其中，${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}}$ 是洛伦兹因子，${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{v}{c}}$是“贝塔因子”。

对于这两个参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$、 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ ，假设一个事件的四维坐标分别为 ${\displaystyle x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$、 ${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 。那么，这两个四维坐标之间的关系为

其中，${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 是 ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 的逆反，

将这两个四维坐标之间的关系式合并为一，则可得到

因此，可以找到洛伦兹变换矩阵的一个特性：

其中，${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{}_{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}}$ 是克罗内克函数。

另外一个很有用的特性为

给定一个事件在某惯性参考系的四维坐标，通过洛伦兹变换，就可计算出这事件在另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很有用的物理性质。当研究物理现象时，所涉及的四维矢量，最好都能够具有这有用的性质。这样，可以使得数学分析更加精致犀利。以方程表示，对于两个参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$、 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$，具有这种有用性质的四维矢量 ${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 、${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{U}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 满足

在计算这四维矢量对于时间的导数时，若能选择固有时为时间变数，则求得的四维矢量仍旧具有这有用的性质。因为，固有时乃是个不变量；改变惯性参考系不会改变不变量。

假设一个物体运动于闵可夫斯基时空。在“实验室参考系”里，物体运动的速度随着时间改变。对于每瞬时刻，选择与物体同样运动的惯性参考系，称为“瞬间共动参考系”（momentarily comoving reference frame）。在这瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，这参考系也是物体的“瞬间静止参考系”。随着物体不断地改变运动速度与方向，新的惯性参考系也会不断地改换为瞬间共动参考系。:41-42随着这些不断改换的瞬间同行坐标系所测得的时间即为固有时，标记为 ${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ 。这就好像给物体挂戴一只手表，随着物体的运动，手表也会做同样的运动，而手表所纪录的时间就是固有时。

这物体的运动可以用一条世界线 ${\displaystyle x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$ 来描述。由于时间膨胀，发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ 与从别的惯性参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$ 所观测到的微小时间间隔 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t}$ 的关系为

所以，固有时 ${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ 对于其它时间 ${\displaystyle t}$ 的导数为

在闵可夫斯基空间里，两个四维矢量 ${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 与 ${\displaystyle V_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的内积，称为闵可夫斯基内积，以方程表示为：

由于这内积并不具正定性，即

可能会是负数；而欧几里得内积一定不是负数。

许多学者喜欢使用相反正负号的 ${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$：

这样，${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 与 ${\displaystyle V_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的内积改变为

其它相联的量值也会因而改变正负号，但这不会改变系统的物理性质。

从参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$ 改换至另一参考系 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ ，${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 与 ${\displaystyle V_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的内积为

所以，在闵可夫斯基时空内，两个四维矢量的内积是个不变量：:44-46

四维矢量可以分类为类时，类空，或类光（零矢量）：

设想一个物体运动于闵可夫斯基时空，则其世界线的任意事件 ${\displaystyle x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$ 的四维速度 ${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 定义为:46-48

其中，${\displaystyle \mathbf{u}=\left(\frac{\mathrm{d}{x}^1}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}{x}^2}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}{x}^3}{\mathrm{d}t}\right)}$ 是三维速度，或经典速度矢量。

${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的空间部分与经典速度 ${\displaystyle \mathbf{u}}$ 的关系为

四维速度与自己的内积等于光速平方，是一个不变量：

在物体的瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，四维速度为

其方向与瞬间共动参考系的第零个基底矢量 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{e}}}_0={\left(1,0,0,0\right)}_{MCRF}}$ 同向；

其中，${\displaystyle MCRF}$ 表示从瞬间共动参考系观察得到的数据。

四维加速度 ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 定义为 :46-48

经过一番运算，可以得到洛伦兹因子对于时间的导数：

其中，${\displaystyle \mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}}$ 是经典加速度。

所以，四维加速度 ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 可以表示为

由于 ${\displaystyle U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{U}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 是个常数，四维加速度与四维速度相互正交；也就是说，四维速度与四维加速度的闵可夫斯基内积等于零：

对于每一条世界线，这计算结果都成立。

注意到在瞬间共动参考系里， ${\displaystyle U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 只有时间分量不等与零，所以， ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 为的时间分量为零：

一个静止质量为 ${\displaystyle m}$ 的粒子的四维动量 ${\displaystyle P^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 定义为

经典动量 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 定义为

其中，${\displaystyle m_{rel}}$ 是相对论性质量。

所以，${\displaystyle P^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的空间部分等于经典动量 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ ：

作用于粒子的四维力定义为粒子的四维动量对于固有时的导数：

提出四维动量内的静止质量因子，即可发觉四维力就是静止质量乘以四维加速度：

因此，四维力可以表示为

经典力 ${\displaystyle \mathbf{f}}$ 定义为

所以，${\displaystyle F^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$的空间部分等于 ${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\mathbf{f}}$ ：

在四维矢量的表述里，存在着许多能量与物质之间的关系。从这些特别关系，可以显示出这表述的功能与精致。

假设，在微小时间间隔 ${\displaystyle \mathrm{d}t}$

相关

• American FactFinder美国普查局（英语：United States Census Bureau，按《美国法典第13卷 § 11》官方称呼为Bureau of the Census）是美国商务部经济和统计管理局下属的一个机关。它的任务由美国宪
• 台湾承认大陆学历大陆地区大学及高等教育机构认可名册是中华民国教育部承认的中国大陆大学列表，截至2016年，共有155所本科学校、191所专科学校受到承认。基于国际趋势及两岸学术交流，亦希望解决
• 睡衣睡衣 （又称寝衣） 是专供人们睡觉时穿着的服装，一般由宽松舒适的上衣和裤子组成。“睡衣”一词在希腊语和乌尔都语里，指的都是晚上在房间内穿的一种肥大的裤子。古代作为贵族专有
• 新闻出版总署条码中心中央宣传部出版物数据中心（对外加挂中国版本图书馆牌子），是中国惟一的一个专门负责收藏中华人民共和国成立以来全国出版物样本的版本图书馆。前身是1950年成立的中国出版总署图
• 北欧海盗维京人（古诺斯语：víkingr）是诺尔斯人的一支（斯堪的纳维亚人），他们是从公元8世纪到11世纪侵扰并殖民欧洲沿海和不列颠群岛的探险家，武士，商人和海盗。其足迹遍及从欧洲大陆至北极广
• 原台南运河海关坐标：22°59′47″N 120°11′33″E / 22.9963861°N 120.192468°E / 22.9963861; 120.192468原台南运河海关位于台南市中西区，于民国九十年（2001年）7月16日公告为台南市的市定
• 袁克权袁克权（1898年－1941年），字规庵，号百衲，是袁世凯朝鲜族二姨太李氏所生，为袁第五子。称帝时，袁世凯曾让他和长子袁克定、次子袁克文同穿太子服，将其视为候选接班人。1913年，他和兄弟袁克
• 阿维达斯·诺维科瓦斯阿维达斯·诺维科瓦斯（立陶宛语：Arvydas Novikovas；1990年12月18日－）是一位立陶宛足球运动员。在场上的位置是侧锋。他现在效力于德国足球乙级联赛球队厄尔士山脉奥厄足球俱乐部
• 三好政康三好政康（1528年－1615年6月3日），三好政长之子，三好政胜之兄。三好氏重臣，三好三人众之一。出家后名为三好入道清海。1573年被织田信长击败之后，之后成为丰臣秀吉家臣。秀吉死后，德川
• 东北比例代表区东北比例代表区（ひれいとうほくブロック）是日本众议院11个比例代表制选区之一，选举地区是日本的东北地方，也就是青森县、岩手县、宫城县、秋田县、山形县、福岛县六县。该选举区