四维矢量

在相对论里，四维矢量（four-vector）是实值四维矢量空间里的矢量。这四维矢量空间称为闵可夫斯基时空。四维矢量的分量分别为在某个时间点与三维空间点的四个数量。在闵可夫斯基时空内的任何一点，都代表一个“事件”，可以用四维矢量表示。从任意惯性参考系观察某事件所获得的四维矢量，通过洛伦兹变换，可以变换为从其它惯性参考系观察该事件所获得的四维矢量。

本文章只思考在狭义相对论范围内的四维矢量，尽管四维矢量的概念延伸至广义相对论。在本文章内写出的一些结果，必须加以修改，才能在广义相对论范围内成立。

在闵可夫斯基时空内的任何一点，都可以用四维矢量（一组标准基底的四个坐标） ${\displaystyle x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=(x^0,x^1,x^2,x^3)}$ 来表示；其中，上标 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=0,1,2,3}$ 标记时空的维数次序。称这四维矢量为“坐标四维矢量”，又称“四维坐标”，定义为

其中，${\displaystyle c}$ 是光速，${\displaystyle t}$ 是时间，${\displaystyle (x,y,z)}$ 是位置的三维直角坐标。

为了确使每一个坐标的单位都是长度单位，定义 ${\displaystyle x^0\stackrel{def}{=}ct}$ 。

“四维位移”定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里，四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时，位移就是位置。四维位移 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 表示为

带有上标的四维矢量 ${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 称为反变矢量，其分量标记为

假若，标号是下标，则称四维矢量 ${\displaystyle U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 为协变矢量。其分量标记为

在这里，闵可夫斯基度规 ${\displaystyle {\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 被设定为

采用爱因斯坦求和约定，则四维矢量的协变坐标和反变坐标之间的关系为

闵可夫斯基度规与它的“共轭度规张量” ${\displaystyle {\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 相等：

给予两个惯性参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$、 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ ；相对于参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$，参考系 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ 以速度 ${\displaystyle \mathbf{v}=v\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{x}}}$ 移动。对于这两个参考系，相关的“洛伦兹变换矩阵” ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 是

其中，${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}}$ 是洛伦兹因子，${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{v}{c}}$是“贝塔因子”。

对于这两个参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$、 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ ，假设一个事件的四维坐标分别为 ${\displaystyle x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$、 ${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 。那么，这两个四维坐标之间的关系为

其中，${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 是 ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$ 的逆反，

将这两个四维坐标之间的关系式合并为一，则可得到

因此，可以找到洛伦兹变换矩阵的一个特性：

其中，${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{}_{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}}$ 是克罗内克函数。

另外一个很有用的特性为

给定一个事件在某惯性参考系的四维坐标，通过洛伦兹变换，就可计算出这事件在另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很有用的物理性质。当研究物理现象时，所涉及的四维矢量，最好都能够具有这有用的性质。这样，可以使得数学分析更加精致犀利。以方程表示，对于两个参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$、 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$，具有这种有用性质的四维矢量 ${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 、${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{U}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 满足

在计算这四维矢量对于时间的导数时，若能选择固有时为时间变数，则求得的四维矢量仍旧具有这有用的性质。因为，固有时乃是个不变量；改变惯性参考系不会改变不变量。

假设一个物体运动于闵可夫斯基时空。在“实验室参考系”里，物体运动的速度随着时间改变。对于每瞬时刻，选择与物体同样运动的惯性参考系，称为“瞬间共动参考系”（momentarily comoving reference frame）。在这瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，这参考系也是物体的“瞬间静止参考系”。随着物体不断地改变运动速度与方向，新的惯性参考系也会不断地改换为瞬间共动参考系。:41-42随着这些不断改换的瞬间同行坐标系所测得的时间即为固有时，标记为 ${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ 。这就好像给物体挂戴一只手表，随着物体的运动，手表也会做同样的运动，而手表所纪录的时间就是固有时。

这物体的运动可以用一条世界线 ${\displaystyle x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$ 来描述。由于时间膨胀，发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ 与从别的惯性参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$ 所观测到的微小时间间隔 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t}$ 的关系为

所以，固有时 ${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ 对于其它时间 ${\displaystyle t}$ 的导数为

在闵可夫斯基空间里，两个四维矢量 ${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 与 ${\displaystyle V_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的内积，称为闵可夫斯基内积，以方程表示为：

由于这内积并不具正定性，即

可能会是负数；而欧几里得内积一定不是负数。

许多学者喜欢使用相反正负号的 ${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$：

这样，${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 与 ${\displaystyle V_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的内积改变为

其它相联的量值也会因而改变正负号，但这不会改变系统的物理性质。

从参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$ 改换至另一参考系 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ ，${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 与 ${\displaystyle V_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的内积为

所以，在闵可夫斯基时空内，两个四维矢量的内积是个不变量：:44-46

四维矢量可以分类为类时，类空，或类光（零矢量）：

设想一个物体运动于闵可夫斯基时空，则其世界线的任意事件 ${\displaystyle x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$ 的四维速度 ${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 定义为:46-48

其中，${\displaystyle \mathbf{u}=\left(\frac{\mathrm{d}{x}^1}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}{x}^2}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}{x}^3}{\mathrm{d}t}\right)}$ 是三维速度，或经典速度矢量。

${\displaystyle U^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的空间部分与经典速度 ${\displaystyle \mathbf{u}}$ 的关系为

四维速度与自己的内积等于光速平方，是一个不变量：

在物体的瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，四维速度为

其方向与瞬间共动参考系的第零个基底矢量 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{e}}}_0={\left(1,0,0,0\right)}_{MCRF}}$ 同向；

其中，${\displaystyle MCRF}$ 表示从瞬间共动参考系观察得到的数据。

四维加速度 ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 定义为 :46-48

经过一番运算，可以得到洛伦兹因子对于时间的导数：

其中，${\displaystyle \mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}}$ 是经典加速度。

所以，四维加速度 ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 可以表示为

由于 ${\displaystyle U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{U}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 是个常数，四维加速度与四维速度相互正交；也就是说，四维速度与四维加速度的闵可夫斯基内积等于零：

对于每一条世界线，这计算结果都成立。

注意到在瞬间共动参考系里， ${\displaystyle U_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 只有时间分量不等与零，所以， ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 为的时间分量为零：

一个静止质量为 ${\displaystyle m}$ 的粒子的四维动量 ${\displaystyle P^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 定义为

经典动量 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 定义为

其中，${\displaystyle m_{rel}}$ 是相对论性质量。

所以，${\displaystyle P^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 的空间部分等于经典动量 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ ：

作用于粒子的四维力定义为粒子的四维动量对于固有时的导数：

提出四维动量内的静止质量因子，即可发觉四维力就是静止质量乘以四维加速度：

因此，四维力可以表示为

经典力 ${\displaystyle \mathbf{f}}$ 定义为

所以，${\displaystyle F^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$的空间部分等于 ${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\mathbf{f}}$ ：

在四维矢量的表述里，存在着许多能量与物质之间的关系。从这些特别关系，可以显示出这表述的功能与精致。

假设，在微小时间间隔 ${\displaystyle \mathrm{d}t}$

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