拐值

拐点（Inflection point）或称反曲点，是一条连续曲线改变凹凸性的点，或者等价地说，是使切线穿越曲线的点。决定曲线的拐点有助于理解曲线的外形，这在描绘曲线图形时特别有用。若曲线图形在一点由凸转凹，或由凹转凸，则称此点为拐点。直观地说，拐点是使切线穿越曲线的点。若该曲线图形的函数在某点的二阶导数为零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。这是寻找拐点时最实用的方法之一。拐点的必要条件：设 f ( x ) {displaystyle f(x)} 在 ( a , b ) {displaystyle (a,b)} 内二阶可导， x 0 ∈ ( a , b ) {displaystyle x_{0}in (a,b)} ，若 ( x 0 , f ( x 0 ) ) {displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} 是曲线 y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} 的一个拐点，则 f ″ ( x 0 ) = 0 {displaystyle f''(x_{0})=0} 。 比如， f ( x ) = x 4 {displaystyle f(x)=x^{4}} ，有 f ″ ( 0 ) = 0 {displaystyle f''(0)=0} ，但是0两侧全是凸，所以0不是函数 f ( x ) = x 4 {displaystyle f(x)=x^{4}} 的拐点。拐点的充分条件：设 f ( x ) {displaystyle f(x)} 在 ( a , b ) {displaystyle (a,b)} 内二阶可导， f ″ ( x 0 ) = 0 {displaystyle f''(x_{0})=0} ，若在 x 0 {displaystyle x_{0}} 两侧附近 f ″ ( x ) {displaystyle f''(x)} 异号，则点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) {displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} 为曲线的拐点。否则（即 f ″ ( x 0 ) {displaystyle f''(x_{0})} 保持同号）， ( x 0 , f ( x 0 ) ) {displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} 不是拐点。拐点可以根据 f ′ ( x ) {displaystyle f'(x)} 为零或不为零，进行分类：例如： y = x 3 {displaystyle y=x^{3}} 的点 ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0)} 是一个鞍点，切线为 x {displaystyle x} 轴，切线正好将图像分为两半。平面参数曲线的拐点是使其曲率变号的点，此时曲率中心（居于曲线凹侧）从曲线的一侧换至另一侧。双正则点是使得参数曲线的一阶与二阶微分（它们是向量）线性无关的点。在双正则点上，曲线既无拐点亦非直线。在非双正则点上曲率为零，但是不一定有变号。在寻找参数曲线的拐点时，我们通常先以微分找出非双正则点，继之研究其局部性状，以判定是否为拐点。注：某些作者偏好将拐点定义为“使一阶与二阶微分平行的点”，在此定义下，切线不一定在该点穿越曲线本身。设 C {displaystyle C} 为域 F {displaystyle F} 上的平面代数曲线，其拐点定义为一平滑点 P ∈ C ( F ) {displaystyle Pin C(F)} ，使得该点切线 L P {displaystyle L_{P}} 与 C {displaystyle C} 在 P {displaystyle P} 点的相交重数 ≥ 3 {displaystyle geq 3} 。注意到一条曲线与 C {displaystyle C} 在 P {displaystyle P} 点相切的充要条件是相交重数 ≥ 2 {displaystyle geq 2} 。当 F = R {displaystyle F=mathbb {R} } 时，代数曲线的拐点定义等价于上节注记中的广义定义。