函数

函数在数学中为两不为空集的集合间的一种对应关系：输入值集合中的每项元素皆能对应​​唯一一项输出值集合

中的元素。例如实数${\displaystyle x}$。上述的平方函数关系写成数学式记为${\displaystyle f(x)=x^2}$）是如下定义的${\displaystyle X}$: →，若值域中任何一个元素的原象是唯一的，那么这个函数就被称为是双射的。对任意的∈到它的原象ƒ−1()的映射，我们称之为的反函数，记为−1。

举一个反函数的例子，比如ƒ() = 3，它的反函数是ƒ−1() = ${\displaystyle \sqrt[3]{x}}$的反函数是/2。反函数是一个函数，它能够“抵消”它的原函数，并具有和原函数相同的单调性。参见逆映射。

给出${\displaystyle Y}$-元函数）是指输入值为-元组的函数。或者说，若一函数的输入值域为个集合的笛卡尔积的子集，这函数就是-元函数。例如，距离函数((x,y))是一个二元函数，输入值是由两个点组成的序对。另外，多复变函数（即输入值为复数的多元组）是一个重要的数学课题。

在抽象代数中，算子其实都是函数，如乘法"*"是个二元函数：当我们写*时，其实是用上了*(,)的中缀表示法。

函数式程序设计是一个以函数概念为中心的重要理论范式，其中的运算对象为多元函数，基本语法基于λ演算，而函数的复合则采用代换来完成。特别地，通过一种称为柯里化的变换，可将多元函数变换为一元函数。

所有从整数到整数的可计算函数的个数是可数的，这是因为所有可能的算法个数是可数的。从整数到整数的函数个数要更多些－和实数个数一样多，也就是说是等势的。这说明有些从整数到整数的函数是不可计算的。关于不可计算函数，请参看停机问题和莱斯定理，OEIS中有一个经典的例子：, , )，称为源对象（定义域的类比），称为目标对象（到达域的类比），而源对象与目标对象是范畴内的对象。基于这种解释，可以把函数看作集合范畴里面的态射。