高阶弦波输入描述函数

高阶弦波输入描述函数简称HOSIDF，最早是由P.W.J.M. Nuij开始使用的。是弦波输入描述函数的延伸，描述在弦波输入信号，系统在各谐波的响应（增益及相位）。HOSIDF和经典的频率响应函数有直观上的相似性，定义一个稳定、因果、时不变的非线性系统在以下弦波输入下的周期性输出：

${\displaystyle u(t)=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}t+{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0)}$

输出为${\displaystyle y(t)}$，包括输入频率的谐波：

${\displaystyle y(t)=\underset{k=0}{\overset{K}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|H_k({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0,\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})|{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^k\cos <!--\; \; -->(k({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}t+{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0)+\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{H}_k({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0,\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}))}$

定义输入及输出信号的单边频谱为${\displaystyle U(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$及${\displaystyle Y(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$，使得 ${\displaystyle |U({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0)|=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$，可以得到k阶HOSIDF的定义：

${\displaystyle H_k({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0,\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})=\frac{Y(k{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0,\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})}{U^k({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0,\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})}}$

HOSIDF的应用及分析在已识别非线性模型时有其优势，若完全不知道其模型，也有其优势。后者的优势在于HOSIDF不太需要对系统有所假设，在不使用先进数学工具的情形下可以轻松进行识别。就算已识别出非线性模型，HOSIDF仍比使用已识别的非线性模型要好。HOSIDF在其识别及解释上是直观的，而其他非线性模型会受实际系统特性，只能收到有限的直接资讯。而且在非线性无法忽略的应用中，HOSIDF是描述函数很自然的延伸。实务上HOSIDF有二个不同的应用：因为在识别上的容易，HOSIDF可以在系统设计时提供在线的测试。而将HOSIDF应用在非线性控制器设计，会较传统的时域调适效果有显著的提升。