弧长

✍ dations ◷ 2025-06-28 13:47:39 #弧长
曲线的弧长也称曲线的长度,是曲线的特征之一。不是所有的曲线都能定义长度,能够定义长度的曲线称为可求长曲线。最早研究的曲线弧长是圆弧的长度。为了计算圆周的长度,数学家发明了用直线段近似的方法,并应用到其他的曲线上。微积分出现后,数学家开始用积分的方式计算曲线的弧长,得出了许多特殊曲线的弧长的精确表达式。计算平面上一段曲线的弧长,最早也是最直接的方法是用一些直线段来作出和曲线相似的形状,以直线段的长度代替曲线的弧长。具体的方法是在曲线上选一些点,然后将这些点用线段连起来,得到一条折线。这些线段长度的和,也就是折线的长度,便近似于曲线的弧长。选取的点越密集越均匀,折线的长度就越接近曲线的弧长。但有时候折线的长度可能可以任意大,甚至趋向无限大。这样的曲线无法定义长度。但对一般的光滑曲线来说,当相邻的点之间的距离都趋于0的时候,折线的长度会趋于一个极限,也就是曲线的弧长。设 C {displaystyle C} 是欧几里德空间 S = R n {displaystyle S=mathbb {R} ^{n}} (或某个有限维度量空间)中的一条曲线。它是某个从实数区间映射到.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}S的连续函数 f : [ a , b ] → S {displaystyle f:rightarrow S} 的图像。考虑区间 [ a , b ] {displaystyle } 的一个分割: a = t 0 < t 1 < … < t n − 1 < t n = b {displaystyle a=t_{0}<t_{1}<ldots <t_{n-1}<t_{n}=b} 。 f ( t 0 ) , f ( t 1 ) , … , f ( t n − 1 ) , f ( t n ) {displaystyle f(t_{0}),f(t_{1}),ldots ,f(t_{n-1}),f(t_{n})} 是曲线 C {displaystyle C} 上的 n + 1 {displaystyle n+1} 个点。将 f ( t i ) {displaystyle f(t_{i})} 和 f ( t i + 1 ) {displaystyle f(t_{i+1})} 两点之间的距离记为 d ( f ( t i ) , f ( t i + 1 ) ) {displaystyle dleft(f(t_{i}),f(t_{i+1})right)} ,这也是从 f ( t i ) {displaystyle f(t_{i})} 连到 f ( t i + 1 ) {displaystyle f(t_{i+1})} 的线段的长度。而曲线 C {displaystyle C} 的弧长 L ( C ) {displaystyle L(C)} 定义为:也就是说,曲线的弧长是所有从曲线中选取有限个点连起来的折线长度的最小上界。广义的曲线弧长也包括这个最小上界不存在的情况,这时候定义曲线的弧长是无穷大。曲线的弧长有限的时候,称之为可求长曲线,否之称为不可求长曲线。以上的定义不要求函数 f {displaystyle f} 可微,度量空间也没有定义微分的结构。将曲线用函数的形式表达称为曲线的参数化,用参数(函数的自变量)来刻画曲线。对给定的曲线,参数化的方法不止一种。但只要参数化的函数是连续的,那么两种不同的参数化方式之间就可以用一个连续单调的函数来转换。所以参数化的方式不会影响定义曲线的弧长。曲线的弧长是它的内禀属性,不依赖于参数化的方式。假设曲线 C {displaystyle C} 可以用连续可微函数 r : [ a , b ] → S {displaystyle r;:;rightarrow ;S} 进行参数化,那么在进行分割 a = t 0 < t 1 < … < t n − 1 < t n = b {displaystyle a=t_{0}<t_{1}<ldots <t_{n-1}<t_{n}=b} 后,每一段线段 Δ r i = ( r ( t i ) , r ( t i + 1 ) ) {displaystyle Delta r_{i}=left(r(t_{i}),r(t_{i+1})right)} 在间隔足够小的时候可以近似为 Δ r i ≈ r ′ ( t i ) Δ t i {displaystyle Delta r_{i}approx r'(t_{i})Delta t_{i}} 。所以折线长度就是:当所有的 Δ t i {displaystyle Delta t_{i}} 都趋于0时,就能得到曲线的长度s:假设平面曲线 C {displaystyle C} 是用函数 X ( t ) {displaystyle X(t)} 和 Y ( t ) {displaystyle Y(t)} 进行参数化。考虑曲线上很短的一段弧,它的长度为 d s {displaystyle ds} ,根据勾股定理,在给定的直角坐标系中,有:那么 d s {displaystyle ds} 和两者的关系是:d s {displaystyle ds} 足够接近0的时候, d x {displaystyle dx} 和 d y {displaystyle dy} 也足够接近0. 所以在给定的时刻 t {displaystyle t} ,在 ( X ( t ) , Y ( t ) ) {displaystyle left(X(t),Y(t)right)} 附近有:对上式两端分别积分,就得到:三维空间中,假设曲线 C {displaystyle C} 是用函数 X ( t ) {displaystyle X(t)} 、 Y ( t ) {displaystyle Y(t)} 和 Z ( t ) {displaystyle Z(t)} 进行参数化,则用类似的方式可以推出,假设平面曲线 C {displaystyle C} 是函数 f : R → R {displaystyle f:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} } 的图像,并且函数 f {displaystyle f} 是连续可微的函数: f ′ ( t ) {displaystyle f'(t)} 存在并且也是连续的函数。那么这等价于设 X ( t ) = t {displaystyle X(t)=t} , Y ( t ) = f ( t ) {displaystyle Y(t)=f(t)} ,所以假设曲线是以极坐标的方式进行参数化: r : R → R + {displaystyle r:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ^{+}} ,那么 d s 2 = d r 2 + ( r d θ ) 2 . {displaystyle ds^{2}=dr^{2}+(rdtheta )^{2}.} 弧长等于:通过积分学的知识可以知道,对大部分的 f {displaystyle f} 或 X ( t ) {displaystyle X(t)} 和 Y ( t ) {displaystyle Y(t)} ,上述的积分式没有初等的解析表达式,所以大部分的曲线弧长是无法用显式计算的,只能通过数值计算求出。能用显式表达弧长的曲线除了直线和圆以外还有悬链线、摆线、等角螺线、抛物线、半立方抛物线等等。椭圆的弧长无法用显式计算,数学家们因此发展出椭圆积分和椭圆函数。圆的弧长与角度(弧度)成正比。设圆的半径为r,那么弧度 α {displaystyle alpha } 对应的圆弧的弧长是 r α {displaystyle ralpha } ;角度θ对应的圆弧的弧长是 r π θ 180 {displaystyle {frac {rpi theta }{180}}} 。整个圆周的周长是: C = 2 π r {displaystyle C=2pi r} .特别的,当圆心角使用弧度制单位时,弧长=弧度制圆心角×半径。设半立方抛物线的方程为: y 2 = 3 ( x − 1 ) 3 {displaystyle y^{2}=3(x-1)^{3}} ,要求点 ( 1 , 0 ) {displaystyle (1,0)} 到 ( 4 , 9 ) {displaystyle (4,9)} 的曲线段的弧长,可以用积分计算。这一段上的 y {displaystyle y} 大于等于0,即 y = 3 ( x − 1 ) 3 2 {displaystyle y={sqrt {3}}(x-1)^{frac {3}{2}}} ,而求导可得:所以弧长:有些曲线本身有界(可以被长和宽都有限的长方形覆盖),但其弧长是无限大。一个著名的例子是科赫雪花曲线(见右图)。这个曲线是由一个线段通过重复一系列步骤的改变直到无限而构成的。可以计算,每一步改变后,曲线的弧长都会变成上一步时的三分之四,所以假设原线段长度为a,则第n步之后,弧长变成:a(4/3)n,当n趋于正无穷大时,曲线弧长也趋于无限大。

相关

  • 轴丝动力蛋白(英语:Dynein)是一种马达蛋白(或分子马达),可将ATP高能磷酸键的化学能转化为机械能。动力蛋白依靠在微管上向负端的“行走”运输细胞内的货物。细胞骨架微管的负端指向细
  • 细胞毒性细胞毒性(英语:Cytotoxicity)是指细胞受到释放出的有毒物质而引起的细胞毒性反应。化疗药物具有细胞毒性,一旦进入体内,能区分哪些是癌细胞和正常细胞,达到了杀癌细胞,保护正常细胞
  • bspan style=color:yellow;⑦/span/b约旦河西岸地区(阿拉伯语:الضفة الغربية‎,希伯来语:.mw-parser-output .script-hebrew,.mw-parser-output .script-Hebr{font-size:1.15em;font-family:"Ezra SIL"
  • 石松纲石松纲是石松门中的一纲。传统上,石松纲不只包含石松及石杉,亦包含卷柏及水韭,但后两者现在通常被分成另一纲-水韭纲中。石松被认为在结构上和最早的维管束植物相似,有小且鳞状的
  • 演化网络演化网络(英语:Phylogenetic network)是以图来表示生物的核酸序列、基因、染色体、基因组、和物种之间演化的关系。演化树(英语:Phylogenetic tree)的树状结构不足以表达生物演
  • 菱铁矿菱铁矿是一种分布比较广泛的矿物,属铁的碳酸盐矿物,成分为碳酸亚铁(FeCO3)。因为它含有48%的铁和不含有硫或磷,它是一个有价值的铁矿物。锌,镁和锰通常替代铁造成菱铁矿-菱锌矿,菱铁
  • 即时PCR即时聚合酶链式反应(英语:Real-time polymerase chain reaction)是一种在DNA扩增反应中,以萤光染剂侦测每次聚合酶链锁反应(PCR)循环后产物总量的方法。此实验法已被众多科学家采
  • 南洋南洋,是自明朝起之中国中心称呼,指南中国海附近之东南亚诸国,包括马来群岛、新加坡和印尼群岛,也包括中南半岛沿海、中国大陆以南之州省。南洋概念与西洋、东洋、北洋相对应。西
  • 中坜客运中坜汽车客运股份有限公司(英文:Chungli Bus Traffic, Inc.),简称:中坜客运、坜客(公车迷)、中客(当地人),1979年成立,公司位于桃园市中坜区。主要经营桃园市公车及公路客运。此外
  • 番木虌碱番木鳖碱(英语:Strychnine),又称番木鳖碱,马钱子碱,又译士的宁,士的年(有时被错写成土的宁),是一种剧毒的化学物质,一般用来毒杀老鼠等啮齿类动物。对人类亦有剧毒(成人的致死量约为5mg/