Oloid

✍ dations ◷ 2025-05-13 11:59:50 #曲面,微分几何

Oloid是一种三维曲面的名称。它由保罗·沙茨（德语：Paul Schatz）在1929年发现。它是一种可展曲面。

Oloid曲面可由下述方法构造：将两个全等的圆形在三维空间内互相垂直放置，并保持它们的圆心距等于 $r {\displaystyle r}$ $r$ （这时一个圆的圆周恰在另一个的圆心上）。构造一个凸曲面将上述骨架包裹，并使该凸曲面的面积最小，便得到一个Oloid曲面。可以证明oloid曲面和圆的交集是两条2/3圆弧。

Oloid曲面的表面积公式为（其中 $r {\displaystyle r}$ $r$ 为骨架圆的半径）：

这和半径为 $r {\displaystyle r}$ $r$ 的球体的表面积恰好相等。

一个闭合的Oloid曲面所围成的体积是：

其中 $r {\displaystyle r}$ $r$ 为骨架圆的半径，而 $E {\displaystyle E}$ $E$ 和 $K {\displaystyle K}$ $K$ 是椭圆积分。

Oloid曲面是可展曲面，因此对于曲面上的任何一点，其高斯曲率恒等于0。这意味着Oloid曲面可以不经过压缩变形而展开为一平坦的欧几里德平面。同样，特定形状的平坦平面可以不经压缩而围成Oloid曲面。右图即是Oloid曲面的二维展开。

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