克莱因-戈尔登方程

克莱因-戈尔登方程（Klein-Gordon equation）是相对论量子力学和量子场论中的最基本方程，它是薛定谔方程的狭义相对论形式，用于描述自旋为零的粒子。克莱因-戈尔登方程是由瑞典理论物理学家奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·戈尔登于二十世纪二三十年代分别独立推导得出的。克莱因-戈尔登方程为很多时候会用自然单位（c=ħ=1）写成由于平面波为此方程已知的一组解，所以方程形式由它决定：遵从狭义相对论的能量动量关系式跟薛定谔方式不同，每一个k在此都对应着两个 ω {displaystyle omega } ，只有通过把频率的正负部分分开，才能让方程描述到整个相对论形式的波函数。若方程在时间流逝下不变，则其形式为自由粒子的薛定谔方程是非相对论量子力学的最基本方程：其中 p = − i ℏ ∇ {displaystyle mathbf {p} =-ihbar mathbf {nabla } } 是动量算符。薛定谔方程并非相对论协变的，意味着它不满足爱因斯坦的狭义相对论。利用狭义相对论中四维动量的不变性导出的相对论动量能量关系，相对论能量替换薛定谔方程左边自由粒子的动能 p 2 2 m {displaystyle {frac {mathbf {p} ^{2}}{2m}}} ，并最终得到它的协变形式其中 μ = m c ℏ {displaystyle mu ={frac {mc}{hbar }},}达朗贝尔算符 ◻ 2 = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 {displaystyle Box ^{2}={frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}-nabla ^{2},}从相对论量子力学的观点来看，达朗贝尔算符的出现意味着克莱因-戈尔登方程是一个量子力学的波方程。场论中，对于自旋为零的场（标量场），拉格朗日量被写成这里依照量子场论的习惯选取了自然单位，将光速 c {displaystyle c} 和普朗克常数 ℏ {displaystyle hbar } 都取作1。代入欧拉-拉格朗日方程 ∂ L ∂ ϕ − ∂ ∂ x μ ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) = 0 , {displaystyle {frac {partial L}{partial phi }}-{frac {partial }{partial x_{mu }}}{frac {partial L}{partial (partial ^{mu }phi )}}=0,} 可直接得到克莱因-戈尔登方程。从量子场论的观点来看，以上推导过程都在经典场论的范围之内，因此克莱因-戈尔登方程只是一个经典场的场方程。相对论量子力学中自由粒子只是一个理想化的概念，但形如克莱因-戈尔登方程这样的波方程仍然具有形式上的平面波解：其中 − k 2 + ω 2 c 2 = m 2 c 2 ℏ 2 . {displaystyle -k^{2}+{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}={frac {m^{2}c^{2}}{hbar ^{2}}}.}从克莱因-戈尔登方程得出的能量本征值为因而克莱因-戈尔登方程的解包含了负能量。同时，由这个解导出相应的概率密度也不能保证是正值。这两个问题使得克莱因-戈尔登方程在很长一段时间里被认为是缺乏物理意义的.英国物理学家保罗·狄拉克为了确保概率密度具有物理意义建立了狄拉克方程，但这个方程仍然没有避免出现负能量。从那时起物理学家们逐渐意识到负能量的出现实际上意味着反粒子的存在。克莱因-戈尔登方程有行波解