决定性问题

在可计算性理论与计算复杂性理论中，所谓的决定性问题（Decision problem）是一个在某些形式系统回答是或否的问题。例如：“给两个数字x与y，x是否可以整除y？”便是决定性问题，此问题可回答是或否，且依据其x与y的值。决定性问题与功能性问题（Function problem，或复杂型问题）密切相关，功能性问题的答案内容，较简单的是与非复杂许多。范例问题：“给予一个正整数x，则哪些数可整除x？”另一个与上述两类问题相关的是最佳化问题（Optimization problem），此问题关心的是寻找特定问题的最佳答案。解决决定性问题的方法称为决策程式或算法。一个针对决定性问题的算法将说明给予参数x和y的情况下如何决定x是否整除y。若是某些决定性问题可以被一些算法所解决，则称此问题可决定。计算复杂度的领域中，分类可决定问题的依据在于此问题有多难被解决。在此标准下，所谓的难是以解决某问题最有效率的算法所花费的计算资源为依据。在递回理论中，非决定性问题由图灵度决定，指的是一种在任何解答中隐含的不可计算性量词。计算性理论的研究集中在决定性问题上。在与功能性问题的等值问题中，并没有失去其普遍性。决定性问题指的是在一个数量为无限大的输入集合中，可产出任何是或非解答的问题之集合。因此传统上定义决定性问题，乃依其解答为是的输入之集合。在此情形下，一决定性问题亦等于一形式语言。形式上，决定性问题是一自然数子集A。借由使用哥德尔数，也可学习诸如形式语言的其他集合。非正规的定义决定性问题，就是判别一个给予的数字是否在此集合内。一决定性问题若其A是一个递归集合，则称做可决定的（decidable）或有效可解（effectively solvable）。若其A是一递归可枚举集合则称为部分可决定的（partially decidable）、半可决定的（semidecidable）、可解的（solvable）或可证明（provable）。除此之外，此问题称为不可决定的。一个经典可决定的决定性问题是质数问题。借由测试每一个可能的因数，有可能有效决定一个自然数是否为质数。尽管存在很多效能更佳的质数判定方法，任何有效方法的存在就已足够建立可决定性。重要的不可决定的决定性问题包括停机问题，其他请见不可决定的问题列表。在计算复杂性理论中，完备的决定性问题通常用来判别其他决定性问题的复杂度类别。重要的实例包括SAT问题与其数变种，还有无向与有向图可达性问题。德语“Entscheidungsproblem”，亦即“判定性问题”（Decision-problem），最早出自于大卫·希尔伯特的话：“在1928年的会议上，希尔伯特精确地描述了他的问题。首先，数学是否具有完备性？……其次，数学是否具有相容性？……再次，数学是否具有判定性？这些问题的意思是，是否存在这样一种确定的方法，在理论上可适用于任何假设，并且能够保证对无论是否正确的假设都能给出一个正确的结果”（Hodeges，p. 91）。希尔伯特相信“在数学上没有‘ignorabimus’”，亦即“我们将无从得之”。需要了解更多信息请参见大卫·希尔伯特和停机问题。