整函数

✍ dations ◷ 2025-03-06 03:21:00 #整函数

整函数（英语：Entire function）是在整个复平面上全纯的函数。典型的例子有多项式函数、指数函数、以及它们的和、积及复合函数。每一个整函数都可以表示为处处收敛的幂级数。而对数函数和平方根都不是整函数。

整函数 ${displaystyle f(z)}$ $f(z)$ 的阶可以用上极限定义如下：

其中 ${displaystyle r}$ $r$ 是到 ${displaystyle 0}$ ${displaystyle 0}$ 的距离， ${displaystyle M(r)}$ $M(r)$ 是 ${displaystyle left|zright|=r}$ $left|zright| = r$ 时 ${displaystyle f(z)}$ $f(z)$ 的最大绝对值。如果 ${displaystyle 0<rho <infty }$ $0<rho<infty$ ，我们也可以定义它的类型：

整函数在无穷远处可能具有奇点，甚至是本性奇点，这时该函数便称为超越整函数。根据刘维尔定理，在整个黎曼球面（复平面和无穷远处的点）上的整函数是常数。

刘维尔定理确立了整函数的一个重要的性质：任何一个有界的整函数都是常数。这个性质可以用来证明代数基本定理。皮卡小定理强化了刘维尔定理，它表明任何一个不是常数的整函数都取遍所有的复数值，最多只有一个值例外，例如指数函数永远不能是零。

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