量子相干

在物理学里，相干性（coherence）指的是，为了产生显著的干涉现象，波所需具备的性质。更广义地说，相干性描述波与自己、波与其它波之间对于某种内秉物理量的相关性质。当两个波彼此相互干涉时，因为相位的差异，会造成相长干涉或相消干涉。假若两个正弦波的相位差为常数，则这两个波的频率必定相同，称这两个波“完全相干”。两个“完全不相干”的波，例如白炽灯或太阳所发射出的光波，由于产生的干涉图样不稳定，无法被明显地观察到。在这两种极端之间，存在着“部分相干”的波。相干性又大致分类为时间相干性与空间相干性。时间相干性与波的带宽有关；而空间相干性则与波源的有限尺寸有关。波与波之间的的相干性可以用相干度（英语：degree of coherence）来量度。干涉可见度（英语：interference visibility）是波与波之间的干涉图样的辐照度对比，相干度可以从干涉可见度计算出来。一般而言，互不相关的波源无法形成可观察到的干涉图样。例如白炽灯或太阳是由很多互不相关、持续生成的微小发光点所组成，每一个发光点只会作用一段时间 Δ t ≈ 10 − 8 − 10 − 9 s e c {displaystyle Delta tapprox 10^{-8}-10^{-9}sec} ，发射出一个有限长度的波列，之后，再也不会发光，但在其它位置，又会出现新的发光点。为了要能拍摄到这类光源所产生的由两个波列叠加形成的干涉图样，摄影仪器的曝光时间必须要小于 Δ t {displaystyle Delta t} 。在旧时，无法制造出这么高阶的摄影仪器，因此从这类光源很难拍摄到干涉图样。但是，通过适当处理，仍旧可以观察到这些光源的干涉图样。:457, 460为了要观察到这些互不相关的波源所形成的干涉图样，必须从这些波源制造出相干性较高的波。有两种方法可以达成这目标：自从激光、激微波的发明以后，物理学者不再为寻找高相干性的光源这问题而烦恼，激光所制造出来的波列通常能维持 Δ t ≈ 10 − 3 s e c {displaystyle Delta tapprox 10^{-3}sec} 之久。这给予足够的曝光时间来拍摄干涉图样。以前，只有在学习光学的杨式双缝实验时，才会接触到相干性这术语。现今许多涉及波动的领域，像声学、电子工程、量子力学等等，都会使用到这术语。许多科技的运作都倚赖相干性质为基础。例如，全息摄影术、音波相位阵列、光学相干断层扫描、天文光学干涉仪、与射电望远镜、等等。两个波的相干性，称为“互相干性”，来自于它们彼此之间的相关程度，也就是说，它们彼此之间的相似程度。互相关函数可以量度互相干性。:564:545-550 互相关函数可以量度从一个波预测另一个波的能力。举例而言，设想完全同步相关的两个波。在任意时间，假若一个波发生任何变化，则另一个波也会做出同样的变化；让这两个波互相干涉，则在任意时间，它们都会展示出完全相长干涉，它们具有完全相干性。互相关函数可以用来支持模式识别系统，例如，指纹识别。如稍后所述，第二个波不必是另外一个实体，它可能是在不同时间或不同位置的第一个波。这案例所涉及的相关称为“自相干性”；对于这案例，可以用自相关函数来量度自相干性。自相关函数可以用来从带有随机噪声背景的信号中提取出信息信号。:545-550假设在点S1、点S2的波扰分别为 E ~ 1 ( t ) {displaystyle {tilde {E}}_{1}(t)} 、 E ~ 2 ( t ) {displaystyle {tilde {E}}_{2}(t)} （波浪号代表复数），则其互相关函数 Γ ~ 12 ( τ ) {displaystyle {tilde {Gamma }}_{12}(tau )} 为:566-571:115-118其中，单书名号表示取时间平均值， T {displaystyle T} 是平均的时间间隔， τ {displaystyle tau } 是相对时移。互相关函数又称为“互相干函数”。理论而言，必需取 T {displaystyle T} 趋向于无穷大的极限；然而，实际而言，只要平均的时间间隔比相干时间（大约是有限长度的波列通过某固定点的有限时间）长久很多就行了。从互相关函数的定义式，可以衍生出自相关函数，又称为“自相干函数”。波 E ~ 1 ( t ) {displaystyle {tilde {E}}_{1}(t)} 与相对时移 τ {displaystyle tau } 的自己波，两者之间的自相干函数为归一化的互相干函数 γ ~ 12 ( τ ) {displaystyle {tilde {gamma }}_{12}(tau )} 又称为两个波的“复相干度”，以方程表示为从柯西-施瓦茨不等式可以推导出 | γ ~ 12 ( τ ) | ≤ 1 {displaystyle |{tilde {gamma }}_{12}(tau )|leq 1} 。绝对值 | γ ~ 12 ( τ ) | {displaystyle |{tilde {gamma }}_{12}(tau )|} 就是“相干度”。当 | γ ~ 12 ( τ ) | = 1 {displaystyle |{tilde {gamma }}_{12}(tau )|=1} 时，波 E ~ 1 {displaystyle {tilde {E}}_{1}} 与波 E ~ 2 {displaystyle {tilde {E}}_{2}} 完全相干；当 | γ ~ 12 ( τ ) | = 0 {displaystyle |{tilde {gamma }}_{12}(tau )|=0} 时，两个波完全不相干；当 0 < | γ ~ 12 ( τ ) | < 1 {displaystyle 0<|{tilde {gamma }}_{12}(tau )|<1} 时，两个波部分相干。“干涉可见度”量度干涉图样的明暗条纹的清晰程度，以方程定义，其中， I m a x {displaystyle I_{max}} 、 I m a x {displaystyle I_{max}} 分别为干涉图样的最大辐照度与最小幅照度。干涉可见度的范围在0到1之间。假设两个波的振幅相等，则干涉可见度等于相干度：下述这些波的共同之处是，它们的物理行为可以用波动方程或推广的波动方程来描述：这些种类的波的物理行为，大多数可以直接测量获得。因此，波与波之间的互相干函数可以很简单地求得。但是，在光学里，不能直接的测量电磁场，因为电磁场的震荡太快，比任何探测器的时间分辨率还要快。可行之道是测量光波的辐照度。大多数在这条目提到的涉及相干性的概念，都是先在光学领域发展成功，然后再适应于其它领域。因此，许多相干性测量标准都是采用间接地测量，甚至在可以直接测量的领域，都是这样做。一个波 E ~ 1 ( t ) {displaystyle {tilde {E}}_{1}(t)} 与延迟了时间 τ {displaystyle tau } 的自己波，两者之间的自相干函数 Γ ~ 11 ( τ ) {displaystyle {tilde {Gamma }}_{11}(tau )} ，可以用来量度时间相干性。对应的复相干度为 γ ~ 11 ( τ ) {displaystyle {tilde {gamma }}_{11}(tau )} ，又称为“复时间相干度”。时间相干性可以表达波源的单色性质，可以量度一个波在延迟某时间后干涉自己的能力，因此又称为“纵向相干性”。经过一段延迟时间 τ {displaystyle tau } 后，假若一个波的相位或波幅开始发生足够显著的变化（因此自相干函数开始显著地减小），则定义此延迟时间为“相干时间” τ c {displaystyle tau _{c}} 。有限长度的波列通过某固定点的有限时间大约是相干时间。当 τ = 0 {displaystyle tau =0} 时，一个波 E ~ 1 ( t ) {displaystyle {tilde {E}}_{1}(t)} 与自己的相干度为 | γ ~ 11 ( 0 ) | = 1 {displaystyle |{tilde {gamma }}_{11}(0)|=1} ；而当 τ ≥ τ c {displaystyle tau geq tau _{c}} 时，相干度 | γ ~ 11 | {displaystyle |{tilde {gamma }}_{11}|} 会显著地减小，显示在观察屏的干涉图样也会变得模糊不清。“相干长度” L c {displaystyle L_{c}} 定义为，在相干时间 τ c {displaystyle tau _{c}} 内，波所能传播的距离，又称为“纵向相干长度”。:560, 571-573由于周期的倒数是频率，一个波在越短时间内，变的不自相干（ τ c {displaystyle tau _{c}} 越小），则波的带宽 Δ f {displaystyle Delta f} 越大。两个物理量的关系方程为:358-359, 560用波长 λ = c / f {displaystyle lambda =c/f} 来表达，用数学表述，这结果可以从傅里叶变换推导出来。自相干函数的傅里叶变换就是功率谱（英语：power spectrum）（每个频率的辐照度）。:572试想下述四个关于时间相干性的实例：白光的带宽大约为3×1014Hz，因此相干时间为3×10-15s，相干长度非常短，大约只有900nm。普通放电灯的带宽也很宽阔，因此相干长度也相当短，大约为几个mm数量级。国际标准Kr86低气压放电灯的相干长度比较长，大约为0.3m。:316激光通常是最单色的光源。高度的单色性意味着相干长度很长。例如，单模氦氖激光（英语：helium-neon laser）能够发射相干长度接近400m的光。特别稳定性氦氖激光的相干长度可以达到1.5×107m。:316全息摄影需要用到长相干时间的光。:635由于具有脉冲高能量与较长的相干时间这两种优点，红宝石激光时常被应用于全息摄影。:549相对比较，光学相干断层扫描使用短相干时间的光。在光学里，时间相干性可以用干涉仪来测量，例如，迈克耳孙干涉仪或马赫-曾德尔干涉仪。干涉仪先将输入波复制，延后 τ {displaystyle tau } 时间，然后将输入波与复制波合并为输出波，再用辐照度探测器来测量经过时间平均后的输出波辐照度，得到的数据，稍加运算，可以求得干涉可见度。这样，可以知道延迟时间为 τ {displaystyle tau } 的相干度。对于大多数的天然光源，由于相干时间超短于探测器的时间分辨率，探测器自己就可以完成时间平均工作。思考图 (3)案例，在相干时间 τ c {displaystyle tau _{c}} 内，波的辐照度显著地涨落不定。假设延迟时间为 2 τ c {displaystyle 2tau _{c}} ，则一个无穷快的探测器所测量出的辐照度也会显著地涨落不定。对于这案例，可以手工计算辐照度的时间平均值来求得时间相干性。为了展示出显著的干涉图样，杨氏双缝实验所使用的光源必须具有空间相干性。光学影像系统与天文望远镜的制作必需考虑到光源的空间相干性。空间相干性与波源的有限尺寸有关。这可以用杨式双缝实验来解释。在典型的杨式双缝实验里，只存在有一个点光源S，其所发射出的单色光，在通过不透明挡板的位于点S1、点S2的两条狭缝之后，会在观察屏显示出干涉图样。现在将这实验加以延伸，将点光源S改为绵延有限尺寸 b {displaystyle b} 的线光源。从做实验获得的结果，物理学者发觉，假定线光源与挡板之间的距离 R {displaystyle R} 足够远，则若要在观察屏的中央轴区域显示出干涉图样，必须先满足以下条件：:42-43其中， θ {displaystyle theta } 是点S1、点S2对于顶点S的夹角。 λ {displaystyle lambda } 是光波的平均波长。注意到 θ ≈ L / R {displaystyle theta approx {mathcal {L}}/R} 、 α ≈ b / R {displaystyle alpha approx b/R} ；其中， L {displaystyle {mathcal {L}}} 是两个狭缝之间的距离， α {displaystyle alpha } 是有限尺寸光源对于档板中央轴交点的夹角。所以，必须满足条件:42-43因此，可以估算这问题的“横向相干长度”为 L c = λ / α {displaystyle {mathcal {L}}_{c}=lambda /alpha } 。假若两个狭缝之间的距离大于 L c {displaystyle {mathcal {L}}_{c}} ，则干涉图样会消灭殆尽。对于三维案例，可以使用物理量“相干面积”，以方程表示为 A c = λ 2 / α 2 {displaystyle {mathcal {A}}_{c}=lambda ^{2}/alpha ^{2}} 。在许多物理系统里，像水波或光波一类的波可以传播于一维或多维的空间。空间相干性量度位于点S1、点S2的的两个波扰，经过时间平均后，彼此相互干涉的能力。更精确地说，空间相干性是这两个波扰除去了延迟时间因素之后的互相关函数。假设某波前的波幅为常数，则在其任意两个位置的波扰，彼此之间都具有完全空间相干性。继续思考杨氏双缝实验，只专注于档板与观察屏之间的状况。假设点S1、点S2的两个波扰分别为 E ~ 1 ( t ) {displaystyle {tilde {E}}_{1}(t)} 、 E ~ 2 ( t ) {displaystyle {tilde {E}}_{2}(t)} ，则其互相干函数 Γ ~ 12 ( τ ) = ⟨ E ~ 1 ( t + τ ) E ~ 2 ∗ ( t ) ⟩ {displaystyle {tilde {Gamma }}_{12}(tau )=langle {tilde {E}}_{1}(t+tau ){tilde {E}}_{2}^{,*}(t)rangle } 与点S1、点S2的位置和延迟时间 τ {displaystyle tau } 有关。由于在观察屏的干涉图样，其中心点Q是中央轴与观察屏的交点，从点S1、点S2同时发射的光波，会在同时抵达点Q，延迟时间为其中， r 1 {displaystyle r_{1}} 、 r 2 {displaystyle r_{2}} 分别是从S1、点S2到点Q的距离， c {displaystyle c} 是光速。因此，除去了延迟时间因素，互相干函数 Γ ~ 12 ( 0 ) {displaystyle {tilde {Gamma }}_{12}(0)} 可以量度在点S1、点S2的两个波扰的空间相干性。复相干度 γ ~ 12 ( 0 ) {displaystyle {tilde {gamma }}_{12}(0)} 称为在点S1、点S2的两个波扰的“复空间相干度”。:572图5：一个单色平面波，相干长度与相干面积为无穷值。图6：一个波前不规则的单色波。因为在点X1与点X1后面λ整数倍数之处的波幅永远相同，相干长度为无穷值，因为在点X1与点X2的波幅永远相同，相干面积也为无穷值。图7：一个波前不规则的波，相干长度与相干面积为有限值。图8：一个波前不规则、相干长度与相干面积为有限值的波，入射于具有一条狭缝的档板。入射波穿过狭缝后，衍射出来的波，其空间相干性会增加。经过传播一段距离，在离狭缝较远处，圆形波前的波近似于平面波。相干面积变为无穷值，而相干长度不变。图9：两个同样的波，在空间里传播。一个波是另外一个波的位移，两个波的相干长度与相干面积分别为无穷值。两个波的结合，在某些位置，会相长干涉，在另外一些位置，会摧毁性干涉。经过空间平均，探测器所观察到的干涉图样，其干涉可见度会减低。例如，一个未校准的马赫-曾德尔干涉仪就会出现这种状况。试想一个电灯泡的钨丝，从其不同位置会独立地发射出毫无固定相位关系的光波。仔细观察，在任意时间，光波的剖面都毫无规律可言。每经过一段相干时间 τ c {displaystyle tau _{c}} ，光波的剖面都会概率性地变化。电灯泡是一个白光光源，相干时间 τ c {displaystyle tau _{c}} 很短，是一个空间不相干光源。电波望远镜天线阵的空间相干性很高，在天线阵对端的每两根天线所发射出的光波，彼此之间都有特别设计的固定相位关系。激光产生的光波的时间相干性与空间相干性通常都很高，其相干度依激光的性质而定。全息摄影术的运作，需要时间相干与空间相干的光波。它的发明者，伽博·丹尼斯，在激光还没有被发明前，就已经成功地做出全息图。他将水银灯的发射线激发出的单色光，通过针孔过滤器，制成全息摄影术所需要的相干光波。2011年2月，物理学者发现，冷却至接近绝对零度的氦原子，当变为玻色-爱因斯坦凝聚时，它们的物理行为会如同激光发射出的相干光束一样。不同频率的波（在光学里，不同颜色的光波），假若有固定的相对相位关系，则会因干涉而形成一个脉冲波（参阅傅里叶变换）。反过来说，假若不同频率的波是不相干的，则结合在一起它们会形成像白光或白噪声一类的波。脉冲波的时间持续期 Δ t {displaystyle Delta t} 被带宽 Δ f {displaystyle Delta f} 限制，依据关系方程：这关系方程也可以从傅里叶变换推导出。对于量子尺寸的粒子，这是海森堡不确定原理的必然结果。测量光的波谱相干性，需要用到非线形光波干涉仪（英语：nonlinear optical interferometer），像辐照度相关器（英语：Intensity optical correlator）、频域分辨光学开关或波谱相位干涉仪（英语：Spectral phase interferometry for direct electric-field reconstruction）。在量子力学里，物质具有波动性（参阅德布罗意假说）。例如，杨氏双缝实验也可以用电子来完成。从电子源发射出的每一个电子可以穿过两条狭缝中的任何一条狭缝，因此，有两种抵达观察屏最终位置的方法可供选择。一种方法是将狭缝S1关闭，电子只能穿过狭缝S2；另一种方法是将狭缝S2关闭，电子只能穿过狭缝S1。每一种方法可以设定为一个特别的量子态。由于这两个量子态会相互干涉，因而影响电子抵达侦测屏最终位置的概率分布，也因此形成了观察屏的干涉图样。这相互干涉的能力展现出粒子的“量子相干性”。假若，试图探测电子到底是经过哪一条狭缝。那么，两个量子态的相位关系会不再存在。这双态系统就会被退相干化。这现象显示出量子系统的互补性。大尺寸（宏观）量子相干会导致新颖奇异的现象，称为宏观量子现象（英语：macroscopic quantum phenomena）。例如，激光、超导现象、超流体等等，都是高度相干的量子系统，它们产生的效应可以在宏观尺寸观察到。超流体现象是玻色-爱因斯坦凝聚。所有组成凝聚的粒子都同相，可以用单独一个量子波函数来描述。换另一方面，薛定谔猫思想实验强调，不能任意地将量子相干用在宏观案例。但是，物理学者于2009年成功地在机械共振器（英语：resonator）的运动里观测到量子相干现象。