渐近线

当任意曲线上一点 M {displaystyle M} 沿曲线无限远离原点时，如果 M {displaystyle M} 到一条直线（或另外一条曲线）的距离无限趋近于零，那么这条直线（曲线）称为这条曲线的渐近线。数学上的定义则是：若函数 y = f ( x ) {displaystyle y=fleft(xright)} 的图形收敛，则渐近线为 y = lim x → ∞ f ( x ) {displaystyle y=lim _{xto infty }fleft(xright)} 。例如，直线 y = b a x {displaystyle y={frac {b}{a}}x} 是双曲线 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} 的渐近线，因为双曲线上的点 M {displaystyle M} 到直线 y = b a x {displaystyle y={frac {b}{a}}x} 的距离 M Q < M N {displaystyle MQ<MN} ；当 M N {displaystyle MN} 无限趋近于0时， M Q {displaystyle MQ} 也无限趋近于0。所以按照定义，直线 y = b a x {displaystyle y={frac {b}{a}}x} 是该双曲线的渐近线。同理，直线 y = − b a x {displaystyle y=-{frac {b}{a}}x} 也是该双曲线的渐近线。对于 F ( x , y ) = 0 {displaystyle Fleft(x,yright)=0} 来说，如果当 x → a {displaystyle xrightarrow a} 时，有 y → ± ∞ {displaystyle yrightarrow pm infty } (左右极限不一定相等)，就把 x = a {displaystyle x=a} 叫做 F ( x , y ) = 0 {displaystyle Fleft(x,yright)=0} 的垂直渐近线；如果当 x → ∞ {displaystyle xrightarrow infty } 时，有 y → b {displaystyle yrightarrow b} ，就把 y = b {displaystyle y=b} 叫做 F ( x , y ) = 0 {displaystyle Fleft(x,yright)=0} 的水平渐近线。例如， y = 3 {displaystyle y=3} 是曲线 x y = 3 x + 2 {displaystyle xy=3x+2} 的水平渐近线。求渐近线，可以依据以下结论：若极限 lim x → ∞ f ( x ) x = a {displaystyle lim _{xto infty }{frac {f(x)}{x}}=a} 存在，且极限 lim x → + ∞ [ f ( x ) − a x ] = b {displaystyle lim _{xto +infty }left=b} 也存在，那么曲线 y = f ( x ) {displaystyle y=fleft(xright)} 具有渐近线 y = a x + b {displaystyle y=ax+b} 。例：求 y = x 2 1 + x {displaystyle y={frac {x^{2}}{1+x}}} 的渐近线。解：(1) x = − 1 {displaystyle x=-1} 为其垂直渐近线。(2) lim x → ∞ f ( x ) x = lim x → ∞ x 1 + x {displaystyle lim _{xto infty }{frac {fleft(xright)}{x}}=lim _{xto infty }{frac {x}{1+x}}} ，即 a = 1 {displaystyle a=1} ；lim x → ∞ [ f ( x ) − a x ] = lim x → ∞ − x 1 + x = − 1 {displaystyle lim _{xto infty }left=lim _{xto infty }{frac {-x}{1+x}}=-1} ，即 b = − 1 {displaystyle b=-1} ；所以 y = x − 1 {displaystyle y=x-1} 也是其渐近线。