柯西-欧拉方程

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柯西-欧拉方程是形式如 ${\displaystyle x^2{y}^{″}+bx{y}^{\prime }+cy=0}$（其中${\displaystyle b,c}$是常数）的二阶常微分方程。

观察可知${\displaystyle y=x^r}$是一个特定解：

因为${\displaystyle x^r=0}$当且仅当${\displaystyle x=0}$，所以要考虑二次方程${\displaystyle r^2+(b-<!--\; -\; -->1)r+c=0}$的解。

设${\displaystyle p,q}$为二次方程的解。若${\displaystyle p,q}$不相等，${\displaystyle y}$的一般解则为${\displaystyle y=A{x}^p+B{x}^q}$。

若${\displaystyle p=q=(1-<!--\; -\; -->b)/2}$ ，其中一个特定解为${\displaystyle x^r\ln <!--\; \; -->x}$：

代入${\displaystyle r=(1-<!--\; -\; -->b)/2}$便知右方括号内等于0。因此核实${\displaystyle x^r\ln <!--\; \; -->x}$是一个特定解。

于是，便有两个线性独立解，继而可得：${\displaystyle y=A{x}^r+B{x}^r\ln <!--\; \; -->x}$。