极值

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:05:24 #微积分,数学分析,最优化

在数学中,极大值与极小值(统称极值)是指在一个域上函数取得最大值(或最小值)的点的函数值。而使函数取得极值的点(的横坐标)被称作极值点。这个域既可以是一个邻域,又可以是整个函数域(这时极值称为最值)。

极值的概念不仅仅限于定义在实数域上的函数。定义在任何集合上的实数值函数都可以讨论其最大最小值。为了定义局部极值,函数值必须为实数,同时此函数的定义域上必须能够定义邻域。邻域的概念使得在的定义域上可以有。

局部最大值(最小值)也被称为极值(或局部最优值),全局最大值(最小值)也被称为最值(或全局最优值)。

求全局极值是最优化方法的目的。对于一元二阶可导函数,求极值的一种方法是求驻点(亦称为静止点,停留点,英语:stationary point),也就是求一阶导数为零的点。如果在驻点的二阶导数为正,那么这个点就是局部最小值;如果二阶导数为负,则是局部最大值;如果为零,则还需要进一步的研究。

一般地,如果在驻点处的一阶、二阶、三阶……直到N阶导数都是零,而N+1阶导数不为零,则当N奇数且N+1阶导数为正时,该点为极小值;当N是奇数且N+1阶导数为负时,该点为极大值;如果N是偶数,则该点不是极值。

如果这个函数定义在一个有界区域内,则还要检查局域的边界点。如果函数在定义域内存在不可导点,则这些不可导点也可能是极值点。

求函数的极值时还应当考虑其不可导点,即导数不存在的点。如函数中0处的导数不存在,事实上从图像上也能看出这一点来。而且0就是该函数的一个极小值。

对于多变量函数(多元函数),同样存在在极值点的概念。其定义为:

此外,也有鞍点的概念。

相关

  • 小舌悬雍垂(palatine uvula,又名腭垂,俗称“小舌”、“吊钟”)是人体口腔器官,悬挂于软颚正中间的末端。悬雍垂的功能是在饮食时上升堵住食物通过鼻腔进入气管的通道,从而使食物进入食
  • 加勒比海地区加勒比海及其附近区域。若依照联合国地理分区里的地理亚区来判定,加勒比地区的范围为加勒比海上的诸岛—西印度群岛,国家与地区包含安圭拉、安提瓜和巴布达、阿鲁巴、巴哈马、
  • 地球在宇宙中的位置20世纪早期,俄国物理学家和数学家亚历山大·弗里德曼以广义相对论著手解释宇宙,他认为宇宙不是静态的,并指出:“我们不论往哪个方向看,也不论在任何地方进行观察,宇宙看起来都是一
  • 多聚体有机聚合物(英语:Polymer)是指具有非常大的分子量的化合物,分子间由结构单位(structural unit)、或单体由共价键连接在一起 。 这个聚合物(polymer)是出自于希腊字:polys代表的是多,而
  • 5f14 6d10 7s2 7p1(预测)2, 8, 18, 32, 32, 18, 3(预测)主条目:鿭的同位素鿭(Nihonium,Nh)鿭是一种人工合成化学元素,化学符号为Nh,原子序数为113。它具有极高的放射性,该元素最稳定的
  • 明暗界线晨昏圈,又称晨昏线,或是曙暮光区是一条虚拟的线,它在行星的表面画出了白天和黑夜的交界线(也称为灰线)。晨昏圈由晨线和昏线组成,晨线和昏线各是一个半圆弧,晨线的东边是昼半球,昏线
  • 五子命案凶宅花莲五子命案,是2006年台湾花莲县吉安乡的一宗命案。2006年9月花莲县警方接获报案,指出吉安村一栋民宅发出恶臭,警方敲门不应良久,只好破门而入,发现屋主刘志勤的五名子女陈尸并
  • 基连巴瑞综合征古兰-巴雷综合征(Guillain-Barré syndrome,缩写为GBS),又称基连巴瑞症候群、脱髓鞘多发性神经炎、吉兰-巴雷综合征、古兰-巴雷综合征。是一种因免疫系统损害周围神经系统,而导致的
  • 有一个地方只有我们知道《有一个地方只有我们知道》(英语:Somewhere Only We Know),是一部于2015年2月10日情人节档上映的中国爱情电影,由徐静蕾执导,吴亦凡、王丽坤、热依扎、张超领衔主演。故事穿梭于
  • 爪哇豹爪哇豹(学名:Panthera pardus melas)也称印尼豹,是豹的一个亚种。主要分布于印尼爪哇岛的雨林及深山中。爪哇豹体长约1.2到1.5米之间,尾长约0.8至0.9米,体型明显比华北豹、华南豹