纳什嵌入定理

纳什嵌入定理(Nash embedding theorems)：，以约翰·福布斯·纳什命名，指出每个黎曼流形可以等距嵌入到欧几里得空间 R。

“等距”表示“保持曲线长度”。因此，该结果表明每个黎曼流形可以看作是欧几里得空间的子流形。第一个定理适用于 1-光滑嵌入，第二个用于解析或, 3 ≤ ≤ ∞的情形。两个定理非常不同；第一个有很简单的证明但有一些很违反直观的结果，而第二个非常具有技术性但其结论比较不太出乎意料。

1定理发表于1954年，定理发表于1956年。解析的情形则最先由纳什于1966年处理，其中的论证后来在Greene & Jacobowitz (1971)中简化了很多。（这个定理的一个局部版本由埃利·嘉当与Maurice Janet 在1920年代证出。）纳什对的证明后来发展成h-原则（英语：h-principle）和纳什–Moser隐函数定理。纳什的第二个嵌入定理的一个简化证明由Günther (1989)给出，方法是将纳什的非线性偏微分方程组约化成椭圆系统，而压缩映射定理能够应用于后者。

定理 令${\displaystyle (M,g)}$-维黎曼流形可以有一个等距${\displaystyle C^1}$-维欧几里得空间中的任意小的邻域。定理最初由纳什在条件${\displaystyle n\ge <!--\; \ge \; -->m+2}$为一给定-维黎曼流形 (解析或属于C类, 3 ≤ ≤ ∞), 则存在 (${\displaystyle n=m^2+5m+3}$ : -> R (也是解析的或者属于C类)使得对于的所有点，导数 d 是一个线性映射从切空间 T 到R，和给定在T上的内积和R的标准内积在如下意义下兼容:

对于T中的所有向量, 。 这是偏微分方程(PDE)的不定系统。

纳什嵌入定理是全局系统，因为整个流形嵌入到了R。局部嵌入定理要简单得多，可以在流形的座标邻域中用高等微积分的隐函数定理证明。这里给出的全局嵌入定理的证明依赖于纳什对隐函数定理的极大推广版本，Nash-Moser定理和带后处理(postconditioning)的牛顿法(见参考)。纳什解决嵌入问题的基本思想是采用牛顿法来证明该PDE系统有解。标准的牛顿法应用于该系统时不收敛，所以纳什利用光滑化算子来保证牛顿循环收敛。这个改变了的牛顿法成为带后处理的牛顿法。平滑算子由卷积定义。该平滑算子保证了循环的趋向于一个根，使得它可以用来作为存在性定理。通过证明PDE系统存在一个根就证明了黎曼流形的等距嵌入的存在性。有一个更老的循环称为Kantovorich循环，它是只用牛顿方法的存在性定理(所以不用平滑算子)。