标准分数

✍ dations ◷ 2025-04-24 18:24:26 #标准分数

标准分数（Standard Score，又称z-score，中文称为Z-分数或标准化值）在统计学中是一种无因次值，就是一种纯数字标记，是借由从单一（原始）分数中减去母体的平均值，再依照母体（母集合）的标准差分割成不同的差距，按照z值公式，各个样本在经过转换后，通常在正、负五到六之间不等。标准分数与使用在高速筛选分析中的“Z-因数”（z-factor）不同，甚至有时两者会互相混淆。其约化过程被称为“标准化”（standardizing）。标准分数可借由以下公式求出：其中 σ ≠ 0 {displaystyle sigma neq 0} 。其中Z值的量代表着原始分数和母体平均值之间的距离，是以标准差为单位计算。在原始分数低于平均值时Z则为负数，反之则为正数。换句话说，Z值是从感兴趣的点到均值之间有多少个标准差。关键点是，计算Z值时需要“母体”的平均值和标准差，而不是“样本”的平均值和标准差。因此需要了解母体的统计数据资料。但是要确实了解母体真正的标准差往往是不切实际的，除非是在“标准化测验”（Standardized testing（英语：Standardized testing））之类的情形中，整个母体都是经过测量的。在其他情况中，几乎不可能测量母体的每一个组成单位，因此通常会使用随机的样本来评估标准差。例如：“有吸烟习惯的总人数”就不是经过一个一个测量而得出的。当母体为正态分布时，其百分位数可能是由标准分数和普通表格所决定的。在数理统计学中，随机变数“X”是使用理论（母体）的平均值和标准差所标准化的结果：其中 μ = E(X) 为平均值、σ² = Var(X) 为X的概率分布之方差若随机变数无法确定时，则为算术平均数：因此经过标准化的结果为：

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