Θ函数

数学中，Θ函数是一种多复变（英语：Several complex variables）特殊函数。其应用包括阿贝尔簇（英语：Abelian variety）与模空间、二次形式、孤立子理论；其格拉斯曼代数推广亦出现于量子场论，尤其于超弦与D-膜理论。

Θ函数最常见于椭圆函数理论。相对于其“” 变量，Θ函数是拟周期函数（quasiperiodic function），具有“拟周期性”。在一般下降理论（英语：Descent (mathematics)）中，Θ函数是来自线丛（英语：Line bundle）条件。

雅可比Θ函数取二变量${\displaystyle z}$）。

若用变量${\displaystyle q=e^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}}$取实值时尤为重要。各辅助Θ函数亦有类似之积公式：

雅可比Θ函数可用积分表示，如下：

黎曼常用关系式

以证黎曼ζ函数之函数方程。他写下等式：

而此积分于替换${\displaystyle s\to <!--\; \to \; -->1-<!--\; -\; -->s}$，而常数使${\displaystyle \mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z)}$ = 0）常项为零，因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数，和为零，而魏尔施特拉斯椭圆函数的所有极点留数均为零，所以这是必要的。

设η为戴德金η函数。则

雅可比Θ函数为一维热方程、于时间为零时符合周期边界条件之唯一解。 设 = 取实值，τ = 而取正值。则有

此解此下方程：

于 = 0时，Θ函数成为“狄拉克梳状函数”（Dirac comb）

其中δ为狄拉克δ函数，故可知此解是唯一的。因此，一般解可得自 = 0时的（周期）边界条件与Θ函数的卷积。

雅可比Θ函在海森堡群之一离散子群作用下不变。见海森堡群之Θ表示一文。

若为一元二次型，则有一关连的Θ函数

其中n为整数格。此Θ函数是模群（或某适当子群）上的权/2 模形式。在其富理埃级数

中，_F() 称为此模形式之“表示数”（representation numbers）。

设

为一集对称方矩阵，其虚部为正定，一般称为“西格尔上半平面”（Siegel upper half-plane），它是上半复平面的高维推广。模群之维推广为辛群Sp(2n,Z)： 当 = 1 时， Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同余子群（congruence subgroup）的维推广为态射核${\displaystyle \text{Ker}\{\text{Sp}(2n,\mathbb{Z})\to <!--\; \to \; -->\text{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})\}}$维复向量，上标为转置。然则雅可比Θ函数为其特例（设 = 1、 ${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{H}}$；其中${\displaystyle \mathbb{H}}$为上半平面）。

在${\displaystyle {\mathbb{C}}^n\times <!--\; \times \; -->{\mathbb{H}}_n.}$的紧致子集上，黎曼Θ函数绝对一致收敛。

函数方程为：

此方程成立于${\displaystyle a,b\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}^n}$, ${\displaystyle z\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^n}$ ， ${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{H}}_n}$。

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