Θ函数

✍ dations ◷ 2025-07-19 06:43:10 #Θ函数,椭圆函数,模形式,黎曼曲面

数学中,Θ函数是一种多复变(英语:Several complex variables)特殊函数。其应用包括阿贝尔簇(英语:Abelian variety)与模空间、二次形式、孤立子理论;其格拉斯曼代数推广亦出现于量子场论,尤其于超弦与D-膜理论。

Θ函数最常见于椭圆函数理论。相对于其“” 变量,Θ函数是拟周期函数(quasiperiodic function),具有“拟周期性”。在一般下降理论(英语:Descent (mathematics))中,Θ函数是来自线丛(英语:Line bundle)条件。

雅可比Θ函数取二变量 z {\displaystyle z\,} )。

若用变量 q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi i\tau }\,} 取实值时尤为重要。各辅助Θ函数亦有类似之积公式:

雅可比Θ函数可用积分表示,如下:

黎曼常用关系式

以证黎曼ζ函数之函数方程。他写下等式:

而此积分于替换 s 1 s {\displaystyle s\to 1-s} ,而常数使 ( z ) {\displaystyle \wp (z)} = 0)常项为零,因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数,和为零,而魏尔施特拉斯椭圆函数的所有极点留数均为零,所以这是必要的。

设η为戴德金η函数。则

雅可比Θ函数为一维热方程、于时间为零时符合周期边界条件之唯一解。 设 = 取实值,τ = 而取正值。则有

此解此下方程:

于 = 0时,Θ函数成为“狄拉克梳状函数”(Dirac comb)

其中δ为狄拉克δ函数,故可知此解是唯一的。因此,一般解可得自 = 0时的(周期)边界条件与Θ函数的卷积。

雅可比Θ函在海森堡群之一离散子群作用下不变。见海森堡群之Θ表示一文。

若为一元二次型,则有一关连的Θ函数

其中n为整数格。此Θ函数是模群(或某适当子群)上的权/2 模形式。在其富理埃级数

中,F() 称为此模形式之“表示数”(representation numbers)。

为一集对称方矩阵,其虚部为正定,一般称为“西格尔上半平面”(Siegel upper half-plane),它是上半复平面的高维推广。模群之维推广为辛群Sp(2n,Z): 当 = 1 时, Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同余子群(congruence subgroup)的维推广为态射核 Ker { Sp ( 2 n , Z ) Sp ( 2 n , Z / k Z ) } {\displaystyle {\textrm {Ker}}\{{\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} )\rightarrow {\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )\}} 维复向量,上标为转置。然则雅可比Θ函数为其特例(设 = 1、 τ H {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} } ;其中 H {\displaystyle \mathbb {H} } 为上半平面)。

C n × H n . {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}.} 的紧致子集上,黎曼Θ函数绝对一致收敛。

函数方程为:

此方程成立于 a , b Z n {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n}} , z C n {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} τ H n {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}}

本条目含有来自PlanetMath《Integral representations of Jacobi theta functions》的内容,版权遵守知识共享协议:署名-相同方式共享协议。

相关

  • 胰岛素1A7F, 1AI0, 1AIY, 1B9E, 1BEN, 1EFE, 1EV3, 1EV6, 1EVR, 1FU2, 1FUB, 1G7A, 1G7B, 1GUJ, 1HIQ, 1HIS, 1HIT, 1HLS, 1HTV, 1HUI, 1IOG, 1IOH, 1J73, 1JCA, 1JCO, 1K3M, 1KMF
  • 电子器材消费电子产品(英语:Consumer electronics),是指供日常消费者生活使用之电子产品。它属于特定的家用电器,内有电子元件,通常会应用于娱乐、通讯以及文书用途,例如电话、音响器材、DV
  • 法布瑞氏症法布瑞氏症(英语:Fabry disease,Fabry's disease,或Anderson-Fabry disease),一种X染色体上基因异常导致的X-连锁隐性遗传疾病。因体内负责制造α-galactosidase(a-GAL)酵素的基因缺
  • 诺埃尔-贝克菲利普约翰·诺埃尔-贝克,诺埃尔-贝克男爵(英语:Philip Noel-Baker, Baron Noel-Baker,1889年11月1日-1982年10月8日),英国政治家、外交家、学者、杰出的业余运动员,以解决战争,纠纷
  • 肾病变肾病变、肾脏病(英语:Nephropathy、kidney disease、renal disease),又称肾损伤,指肾脏的疾病或是功能损伤。又分成非发炎性的肾病(英语:Nephrosis),以及发炎性的肾炎(英语:Nephritis)。
  • 伦德斯堡施塔特湖坐标:54°18′14.25998″N 9°39′33.36359″E / 54.3039611056°N 9.6592676639°E / 54.3039611056; 9.6592676639伦德斯堡施塔特湖(德语:Rendsburger Stadtsee),是德国的湖泊,
  • 米其林情缘《米其林情缘》(英语:)是一部于2014年上映的美国喜剧剧情片,由莱塞·霍尔斯道姆执导,海伦·米伦、曼尼殊·达亚尔、欧姆·普利及夏绿蒂·罗宾等主演。电影改编自Richard C. Morai
  • 2002-03球季英格兰足总杯2002/03球季英格兰足总杯(英语:FA Cup),是第122届英格兰足总杯,今届赛事的冠军是阿仙奴,他们在决赛以1:0击败修咸顿,夺得冠军。阿仙奴卫冕成功。
  • 曼萨 (古吉拉特邦)马恩萨(Mansa),是印度古吉拉特邦Gandhinagar县的一个城镇。总人口27922(2001年)。该地2001年总人口27922人,其中男性14656人,女性13266人;0—6岁人口3452人,其中男1995人,女1457人;识字
  • 迪马鲁古里迪马鲁古里(Dimaruguri),是印度阿萨姆邦Nagaon县的一个城镇。总人口9219(2001年)。该地2001年总人口9219人,其中男性4772人,女性4447人;0—6岁人口1235人,其中男601人,女634人;识字率65