电偶极矩

✍ dations ◷ 2025-04-03 11:31:05 #静电学,电磁学

在物理学里,电偶极矩衡量正电荷分布与负电荷分布的分离状况,即电荷系统的整体极性。

对于分别带有正电量 + q {\displaystyle {+}q} 、负电量 q {\displaystyle -q} 的两个点电荷的简单案例,电偶极矩 p {\displaystyle \mathbf {p} } 为:

其中, d {\displaystyle \mathbf {d} } 是从负电荷位置指至正电荷位置的位移矢量。

这方程意味着电偶极矩 p {\displaystyle \mathbf {p} } 的方向是从负电荷指向正电荷。注意到这跟在正电荷与负电荷之间的电场线的方向相反——从正电荷开始,在负电荷结束。这里并没有矛盾,因为电偶极矩与电偶极子的取向有关,即与电荷的相对位置有关;它不能单独直接地表示出电场线的方向。

称这双电荷系统为“物理电偶极子”。在距离超远于两个点电荷相隔距离之处,物理电偶极子所产生的电场,可以近似为其电偶极矩所产生的电场。令物理电偶极子的两个点电荷相隔距离 d {\displaystyle \mathbf {d} } 趋向于 0 ,同时保持其电偶极矩 p {\displaystyle \mathbf {p} } 不变,则极限就是“点电偶极子”,又称为“纯电偶极子”。物理电偶极子产生的电场,其多极展开式的一次项目就是点电偶极子产生的电场。

一般而言,给定在区域 V {\displaystyle \mathbb {V} '} 内的连续电荷分布,其电偶极矩为

其中, r {\displaystyle \mathbf {r} } 是场位置, r {\displaystyle \mathbf {r} '} 是源位置, ρ ( r ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')} 是在源位置 r {\displaystyle \mathbf {r} '} 的电荷密度, d 3 r {\displaystyle d^{3}\mathbf {r} '} 是微小体元素。

设定 N {\displaystyle N} 个点电荷,则电荷密度是 N {\displaystyle N} 个狄拉克δ函数的总和:

其中, r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}'} 是点电荷 q i {\displaystyle q_{i}} 的位置矢量。

这些点电荷的电偶极矩为

对于两个同电量异性的电荷案例,标记正电荷与负电荷的位置分别为 r + {\displaystyle \mathbf {r} _{+}'} r {\displaystyle \mathbf {r} _{-}'} ,则电偶极矩为

电偶极矩 p ( r ) {\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )} 与位移矢量 d {\displaystyle \mathbf {d} } 的方向相同,都是从负电荷指向正电荷。由于电偶极子是中性的,电偶极矩与观察者的参考点 r {\displaystyle \mathbf {r} } 无关。

设定 N {\displaystyle N} 个电偶极子,其电偶极矩分别为 p i ,   i = 1 , 2 , , n {\displaystyle \mathbf {p} _{i},\ i=1,2,\dots ,n} ,则这些电偶极子的总电偶极矩为

由于每一个电偶极子都是中性的,整个系统也是中性的。因此,总电偶极矩与观察者的参考点 r {\displaystyle \mathbf {r} } 无关。

当论述像质子、电子一类的非中性系统时,会出现电偶极矩与参考点有关的问题。对于这些案例,常规是选择系统的质心为参考点,而不是任意点。电量中心似乎是比较合理的参考点,但是这会造成电偶极矩等于零的结果。选择质心为参考点可以保证电偶极矩是系统的一个内禀性质(intrinsic property)。

如右图所示,设定正电荷 + q {\displaystyle {+}q} 与负电荷 q {\displaystyle {-}q} 的位置分别为 r + = ( 0 , 0 , d / 2 ) {\displaystyle \mathbf {r} _{+}=(0,0,d/2)} r = ( 0 , 0 , d / 2 ) {\displaystyle \mathbf {r} _{-}=(0,0,-d/2)} ,则在场位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的电势 ϕ {\displaystyle \phi }

应用余弦定理,假设场位置离电偶极子足够远, d / 2 r {\displaystyle d/2\ll r} ,则 1 / r + {\displaystyle 1/r_{+}} 1 / r {\displaystyle 1/r_{-}} 可以分别近似为

将这两个公式代入电势的方程,可以得到

设定电偶极矩 p {\displaystyle \mathbf {p} }

其中, d {\displaystyle \mathbf {d} } 是从负电荷指至正电荷的位移矢量。

则电势以矢量标记为

电偶极子的电势随着距离平方递减;而单独电荷是随着距离的一次方递减。所以电偶极子的电势递减速度比单独电荷快很多。

电偶极子的电场是电势的负梯度。采用球坐标 ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} ,电场 E {\displaystyle \mathbf {E} } 的三个分量 E r {\displaystyle E_{r}} E θ {\displaystyle E_{\theta }} E φ {\displaystyle E_{\varphi }} 分别为

或者,以矢量表示为

注意到这个方程并不完全正确,这是因为电偶极子的电势有一个奇点在它所处的位置(原点 O {\displaystyle \mathbf {O} } )。更仔细地推导,可以得到电场为

其中, δ 3 ( r ) {\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )} 是三维狄拉克δ函数

更详尽细节,请参阅偶极子。

假设一个系统里有 N {\displaystyle N} 个电荷,标记第 i {\displaystyle i} 个电荷 q i {\displaystyle q_{i}} 的位置为 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}'} ,则这系统的电偶极矩 p = i = 1 N   q i r i {\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\mathbf {r} _{i}'} 给出其极化程度。但是,对于中性系统,电偶极矩无法给出这些电荷的位置资料。“电偶极矩密度” p ( r ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}(\mathbf {r} ')} 定义为每单位体积的电偶极距;它可以给出在空间内某区域 V {\displaystyle \mathbb {V} '} 的总电偶极矩:

区域 V {\displaystyle \mathbb {V} '} 的电偶极矩密度 p ( r ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}(\mathbf {r} ')} 所产生的电势为

在计算包含这些电荷的区域的电势或电场时,电极化强度 P ( r ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )} 拥有关于这些电荷的一些资料。假若要更准确地计算电势或电场,则电极化强度必需拥有更多关于这些电荷的资料。对于某些案例,只设定 P ( r ) = p ( r ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )={\mathfrak {p}}(\mathbf {r} )} 就足够准确了;对于有些特别案例,可能需要给出更多细节描述,例如,除了电偶极矩密度以外,再添加电四极矩密度(electric quadrapole moment density)资料。

束缚电荷是束缚于介电质内部某微观区域的电荷。这微观区域指的是像原子或分子一类的区域。自由电荷是不束缚于介电质内部某微观区域的电荷。电极化会稍微改变物质内部的束缚电荷的位置,虽然这束缚电荷仍旧束缚于原先的微观区域,这形成一种不同的电荷密度,称为“束缚电荷密度” ρ b o u n d {\displaystyle \rho _{bound}}

总电荷密度 ρ t o t a l {\displaystyle \rho _{total}} 是“自由电荷密度” ρ f r e e {\displaystyle \rho _{free}} 与束缚电荷密度的总和:

在介电质的表面,束缚电荷以表面电荷的形式存在,其表面密度称为“面束缚电荷密度” σ b o u n d {\displaystyle \sigma _{bound}}

其中, n ^ o u t {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}_{\mathrm {out} }\,} 是从介电质表面往外指的法矢量。假若,介电质内部的电极化强度是均匀的, P {\displaystyle \mathbf {P} } 是个常数矢量,则这介电质所有的束缚电荷都是面束缚电荷。

高斯定律表明,电场的散度等于总电荷密度 ρ t o t a l {\displaystyle \rho _{total}} 除以电常数:

电极化强度的散度等于负束缚电荷密度:

电势移 D {\displaystyle \mathbf {D} } 以方程定义为

所以,电势移的散度等于自由电荷密度 ρ f r e e {\displaystyle \rho _{free}}

假设一介电质拥有自由电荷密度 ρ f r e e ( r ) {\displaystyle \rho _{free}(\mathbf {r} ')} 、电偶极矩密度 p ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')} 、电四极矩密度 Q ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {Q}}}(\mathbf {r} ')} 等等,平滑地分布于区域 V {\displaystyle \mathbb {V} '} ,则其电势为

其中, x 1 {\displaystyle x_{1}} x 2 {\displaystyle x_{2}} x 3 {\displaystyle x_{3}} r {\displaystyle \mathbf {r} } 的三个直角坐标。

为了方便运算,只取至电偶极矩密度项目,

应用矢量恒等式与分部积分法,带单撇号的梯度符号表示对于源位置的偏微分,

积分方程的右手边第二个项目变为

应用散度定理,

假设区域 V {\displaystyle \mathbb {V} '} 变为无穷大,则其闭曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} '} 的积分项目趋向于零,所以,

注意到电势乃是由总电荷决定:

由于积分于任意体积,以下全等式成立(由于不会造成歧义,可以不使用单撇号):

因此,束缚电荷密度与电偶极矩密度的关系为

设定电极化强度为电偶极矩密度: P = p {\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {\mathfrak {p}}}} ,则

类似地,可以将电四极矩密度项目加入为电极化强度的一部分。例如,在计算电磁波的散射于介电质时,电荷、电偶极子、电多极子等等,这些实体会各自不同地散射电磁波,因此,可能需要使用比电偶极矩近似法更加精确的方法。

前面论述做了一个假设,即区域 V {\displaystyle \mathbb {V} '} 变为无穷大。这假设促使闭曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} '} 的积分项目趋向于零;倘若不作这假设,倘若区域 V {\displaystyle \mathbb {V} '} 的体积为有限尺寸,则闭曲面

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