电偶极矩

在物理学里，电偶极矩衡量正电荷分布与负电荷分布的分离状况，即电荷系统的整体极性。

对于分别带有正电量 ${\displaystyle +q}$ 、负电量 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->q}$ 的两个点电荷的简单案例，电偶极矩 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 为：

其中，${\displaystyle \mathbf{d}}$ 是从负电荷位置指至正电荷位置的位移矢量。

这方程意味着电偶极矩 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 的方向是从负电荷指向正电荷。注意到这跟在正电荷与负电荷之间的电场线的方向相反——从正电荷开始，在负电荷结束。这里并没有矛盾，因为电偶极矩与电偶极子的取向有关，即与电荷的相对位置有关；它不能单独直接地表示出电场线的方向。

称这双电荷系统为“物理电偶极子”。在距离超远于两个点电荷相隔距离之处，物理电偶极子所产生的电场，可以近似为其电偶极矩所产生的电场。令物理电偶极子的两个点电荷相隔距离 ${\displaystyle \mathbf{d}}$ 趋向于 0 ，同时保持其电偶极矩 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 不变，则极限就是“点电偶极子”，又称为“纯电偶极子”。物理电偶极子产生的电场，其多极展开式的一次项目就是点电偶极子产生的电场。

一般而言，给定在区域 ${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\prime }}$ 内的连续电荷分布，其电偶极矩为

其中，${\displaystyle \mathbf{r}}$ 是场位置，${\displaystyle {\mathbf{r}}^{\prime }}$ 是源位置，${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}({\mathbf{r}}^{\prime })}$ 是在源位置 ${\displaystyle {\mathbf{r}}^{\prime }}$ 的电荷密度，${\displaystyle d^3{\mathbf{r}}^{\prime }}$ 是微小体元素。

设定 ${\displaystyle N}$ 个点电荷，则电荷密度是 ${\displaystyle N}$ 个狄拉克δ函数的总和：

其中，${\displaystyle {\mathbf{r}}_i^{\prime }}$ 是点电荷 ${\displaystyle q_i}$ 的位置矢量。

这些点电荷的电偶极矩为

对于两个同电量异性的电荷案例，标记正电荷与负电荷的位置分别为 ${\displaystyle {\mathbf{r}}_{+}^{\prime }}$ 、${\displaystyle {\mathbf{r}}_{-<!--\; -\; -->}^{\prime }}$ ，则电偶极矩为

电偶极矩 ${\displaystyle \mathbf{p}(\mathbf{r})}$ 与位移矢量 ${\displaystyle \mathbf{d}}$ 的方向相同，都是从负电荷指向正电荷。由于电偶极子是中性的，电偶极矩与观察者的参考点 ${\displaystyle \mathbf{r}}$ 无关。

设定 ${\displaystyle N}$ 个电偶极子，其电偶极矩分别为 ${\displaystyle {\mathbf{p}}_i,i=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n}$ ，则这些电偶极子的总电偶极矩为

由于每一个电偶极子都是中性的，整个系统也是中性的。因此，总电偶极矩与观察者的参考点 ${\displaystyle \mathbf{r}}$ 无关。

当论述像质子、电子一类的非中性系统时，会出现电偶极矩与参考点有关的问题。对于这些案例，常规是选择系统的质心为参考点，而不是任意点。电量中心似乎是比较合理的参考点，但是这会造成电偶极矩等于零的结果。选择质心为参考点可以保证电偶极矩是系统的一个内禀性质（intrinsic property）。

如右图所示，设定正电荷 ${\displaystyle +q}$ 与负电荷 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->q}$ 的位置分别为 ${\displaystyle {\mathbf{r}}_{+}=(0,0,d/2)}$ 、${\displaystyle {\mathbf{r}}_{-<!--\; -\; -->}=(0,0,-<!--\; -\; -->d/2)}$ ，则在场位置 ${\displaystyle \mathbf{r}}$ 的电势 ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$ 为

应用余弦定理，假设场位置离电偶极子足够远， ${\displaystyle d/2\ll <!--\; \ll \; -->r}$ ，则 ${\displaystyle 1/r_{+}}$ 、${\displaystyle 1/r_{-<!--\; -\; -->}}$ 可以分别近似为

将这两个公式代入电势的方程，可以得到

设定电偶极矩 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 为

其中，${\displaystyle \mathbf{d}}$ 是从负电荷指至正电荷的位移矢量。

则电势以矢量标记为

电偶极子的电势随着距离平方递减；而单独电荷是随着距离的一次方递减。所以电偶极子的电势递减速度比单独电荷快很多。

电偶极子的电场是电势的负梯度。采用球坐标 ${\displaystyle (r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})}$ ，电场 ${\displaystyle \mathbf{E}}$ 的三个分量 ${\displaystyle E_r}$ 、${\displaystyle E_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}$ 、${\displaystyle E_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}$ 分别为

或者，以矢量表示为

注意到这个方程并不完全正确，这是因为电偶极子的电势有一个奇点在它所处的位置（原点 ${\displaystyle \mathbf{O}}$ ）。更仔细地推导，可以得到电场为

其中，${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^3(\mathbf{r})}$ 是三维狄拉克δ函数

更详尽细节，请参阅偶极子。

假设一个系统里有 ${\displaystyle N}$ 个电荷，标记第 ${\displaystyle i}$ 个电荷 ${\displaystyle q_i}$ 的位置为 ${\displaystyle {\mathbf{r}}_i^{\prime }}$ ，则这系统的电偶极矩 ${\displaystyle \mathbf{p}=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{q}_i{\mathbf{r}}_i^{\prime }}$ 给出其极化程度。但是，对于中性系统，电偶极矩无法给出这些电荷的位置资料。“电偶极矩密度” ${\displaystyle \mathfrak{p}({\mathbf{r}}^{\prime })}$ 定义为每单位体积的电偶极距；它可以给出在空间内某区域 ${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\prime }}$ 的总电偶极矩：

区域 ${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\prime }}$ 的电偶极矩密度 ${\displaystyle \mathfrak{p}({\mathbf{r}}^{\prime })}$ 所产生的电势为

在计算包含这些电荷的区域的电势或电场时，电极化强度 ${\displaystyle \mathbf{P}(\mathbf{r})}$ 拥有关于这些电荷的一些资料。假若要更准确地计算电势或电场，则电极化强度必需拥有更多关于这些电荷的资料。对于某些案例，只设定 ${\displaystyle \mathbf{P}(\mathbf{r})=\mathfrak{p}(\mathbf{r})}$ 就足够准确了；对于有些特别案例，可能需要给出更多细节描述，例如，除了电偶极矩密度以外，再添加电四极矩密度（electric quadrapole moment density）资料。

束缚电荷是束缚于介电质内部某微观区域的电荷。这微观区域指的是像原子或分子一类的区域。自由电荷是不束缚于介电质内部某微观区域的电荷。电极化会稍微改变物质内部的束缚电荷的位置，虽然这束缚电荷仍旧束缚于原先的微观区域，这形成一种不同的电荷密度，称为“束缚电荷密度” ${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{bound}}$ ：

总电荷密度 ${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{total}}$ 是“自由电荷密度”${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{free}}$ 与束缚电荷密度的总和：

在介电质的表面，束缚电荷以表面电荷的形式存在，其表面密度称为“面束缚电荷密度” ${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{bound}}$ ：

其中，${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{n}}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}}$ 是从介电质表面往外指的法矢量。假若，介电质内部的电极化强度是均匀的，${\displaystyle \mathbf{P}}$ 是个常数矢量，则这介电质所有的束缚电荷都是面束缚电荷。

高斯定律表明，电场的散度等于总电荷密度 ${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{total}}$ 除以电常数：

电极化强度的散度等于负束缚电荷密度：

电势移 ${\displaystyle \mathbf{D}}$ 以方程定义为

所以，电势移的散度等于自由电荷密度 ${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{free}}$ ：

假设一介电质拥有自由电荷密度 ${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{free}({\mathbf{r}}^{\prime })}$ 、电偶极矩密度 ${\displaystyle \mathfrak{p}({\mathbf{r}}^{\prime })}$ 、电四极矩密度 ${\displaystyle \mathfrak{Q}({\mathbf{r}}^{\prime })}$ 等等，平滑地分布于区域 ${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\prime }}$ ，则其电势为

其中，${\displaystyle x_1}$ 、${\displaystyle x_2}$ 、${\displaystyle x_3}$ 是 ${\displaystyle \mathbf{r}}$ 的三个直角坐标。

为了方便运算，只取至电偶极矩密度项目，

应用矢量恒等式与分部积分法，带单撇号的梯度符号表示对于源位置的偏微分，

积分方程的右手边第二个项目变为

应用散度定理，

假设区域 ${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\prime }}$ 变为无穷大，则其闭曲面 ${\displaystyle {\mathbb{S}}^{\prime }}$ 的积分项目趋向于零，所以，

注意到电势乃是由总电荷决定：

由于积分于任意体积，以下全等式成立（由于不会造成歧义，可以不使用单撇号）：

因此，束缚电荷密度与电偶极矩密度的关系为

设定电极化强度为电偶极矩密度： ${\displaystyle \mathbf{P}=\mathfrak{p}}$ ，则

类似地，可以将电四极矩密度项目加入为电极化强度的一部分。例如，在计算电磁波的散射于介电质时，电荷、电偶极子、电多极子等等，这些实体会各自不同地散射电磁波，因此，可能需要使用比电偶极矩近似法更加精确的方法。

前面论述做了一个假设，即区域 ${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\prime }}$ 变为无穷大。这假设促使闭曲面 ${\displaystyle {\mathbb{S}}^{\prime }}$ 的积分项目趋向于零；倘若不作这假设，倘若区域 ${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\prime }}$ 的体积为有限尺寸，则闭曲面